Номер 858, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 858, страница 174.

Условие.

858. Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось тождество:

а) $(2a + *)(2a - *) = 4a^2 - b^2;$

б) $(* - 3x)(* + 3x) = 16y^2 - 9x^2;$

в) $(* - b^4)(b^4 + *) = 121a^{10} - b^8;$

г) $m^4 - 225c^{10} = (m^2 - *)(* + m^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

а) В выражении $(2a + *)(2a - *) = 4a^2 - b^2$ левая часть представляет собой произведение суммы и разности. Согласно формуле разности квадратов, оно равно $(2a)^2 - (*)^2 = 4a^2 - (*)^2$.
Приравниваем это к правой части тождества: $4a^2 - (*)^2 = 4a^2 - b^2$.
Отсюда следует, что $(*)^2 = b^2$.
Значит, вместо знака $*$ нужно вписать одночлен $b$.
Проверка: $(2a+b)(2a-b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Ответ: $b$.

б) В выражении $(* - 3x)(* + 3x) = 16y^2 - 9x^2$ левая часть также является произведением разности и суммы. По формуле она равна $(*)^2 - (3x)^2 = (*)^2 - 9x^2$.
Приравниваем левую и правую части тождества: $(*)^2 - 9x^2 = 16y^2 - 9x^2$.
Отсюда получаем $(*)^2 = 16y^2$.
Возводим в корень и находим, что $*$ - это одночлен $4y$, так как $(4y)^2 = 16y^2$.
Проверка: $(4y-3x)(4y+3x) = (4y)^2 - (3x)^2 = 16y^2 - 9x^2$.
Ответ: $4y$.

в) В выражении $(* - b^4)(b^4 + *) = 121a^{10} - b^8$ поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(* - b^4)(* + b^4)$.
Применяем формулу разности квадратов: $(*)^2 - (b^4)^2 = (*)^2 - b^8$.
Приравниваем полученное выражение к правой части тождества: $(*)^2 - b^8 = 121a^{10} - b^8$.
Отсюда $(*)^2 = 121a^{10}$.
Чтобы найти *, извлечем квадратный корень: $* = \sqrt{121a^{10}} = 11a^5$.
Проверка: $(11a^5 - b^4)(11a^5 + b^4) = (11a^5)^2 - (b^4)^2 = 121a^{10} - b^8$.
Ответ: $11a^5$.

г) В тождестве $m^4 - 225c^{10} = (m^2 - *)(* + m^2)$ нам нужно разложить левую часть по формуле разности квадратов.
Представим $m^4$ как $(m^2)^2$ и $225c^{10}$ как $(15c^5)^2$.
Тогда $m^4 - 225c^{10} = (m^2)^2 - (15c^5)^2 = (m^2 - 15c^5)(m^2 + 15c^5)$.
Сравним это с правой частью исходного выражения: $(m^2 - *)(m^2 + *)$.
Очевидно, что одночлен, который нужно вписать вместо *, это $15c^5$.
Проверка: $(m^2 - 15c^5)(15c^5 + m^2) = (m^2 - 15c^5)(m^2 + 15c^5) = (m^2)^2 - (15c^5)^2 = m^4 - 225c^{10}$.
Ответ: $15c^5$.