Номер 865, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 865, страница 175.

Условие.

865. Найдите наибольшее значение выражения:

а) $(7 - 6x)(7 + 6x);$

б) $(4 - \frac{1}{3} b)(\frac{1}{3} b + 4);$

в) $(\frac{1}{3} - 2y)(\frac{1}{3} + 2y);$

г) $(4a + 1\frac{1}{7})(1\frac{1}{7} - 4a).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти наибольшее значение выражения $(7 - 6x)(7 + 6x)$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Применив эту формулу, получим:
$(7 - 6x)(7 + 6x) = 7^2 - (6x)^2 = 49 - 36x^2$.
Полученное выражение $49 - 36x^2$ представляет собой квадратичную функцию. Значение этой функции максимально, когда вычитаемое $36x^2$ минимально.
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $x^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение выражения $36x^2$ равно $0$ и достигается при $x = 0$.
Таким образом, наибольшее значение исходного выражения равно $49 - 36 \cdot 0^2 = 49$.
Ответ: $49$.

б) Преобразуем выражение $(4 - \frac{1}{3}b)(\frac{1}{3}b + 4)$, поменяв слагаемые во второй скобке местами, чтобы оно соответствовало формуле разности квадратов: $(4 - \frac{1}{3}b)(4 + \frac{1}{3}b)$.
Применим формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$(4 - \frac{1}{3}b)(4 + \frac{1}{3}b) = 4^2 - (\frac{1}{3}b)^2 = 16 - \frac{1}{9}b^2$.
Чтобы найти наибольшее значение выражения $16 - \frac{1}{9}b^2$, нужно минимизировать вычитаемое $\frac{1}{9}b^2$.
Так как $b^2 \ge 0$, наименьшее значение $\frac{1}{9}b^2$ равно $0$ и достигается при $b = 0$.
Следовательно, наибольшее значение выражения равно $16 - \frac{1}{9} \cdot 0^2 = 16$.
Ответ: $16$.

в) Выражение $(\frac{1}{3} - 2y)(\frac{1}{3} + 2y)$ уже имеет вид, подходящий для применения формулы разности квадратов.
$(\frac{1}{3} - 2y)(\frac{1}{3} + 2y) = (\frac{1}{3})^2 - (2y)^2 = \frac{1}{9} - 4y^2$.
Выражение $\frac{1}{9} - 4y^2$ достигает своего наибольшего значения, когда вычитаемое $4y^2$ минимально.
Поскольку $y^2 \ge 0$, минимальное значение $4y^2$ равно $0$ и достигается при $y = 0$.
Таким образом, наибольшее значение выражения равно $\frac{1}{9} - 4 \cdot 0^2 = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

г) Рассмотрим выражение $(4a + 1\frac{1}{7})(1\frac{1}{7} - 4a)$. Сначала представим смешанное число $1\frac{1}{7}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.
Выражение примет вид $(4a + \frac{8}{7})(\frac{8}{7} - 4a)$. Поменяем слагаемые в первой скобке: $(\frac{8}{7} + 4a)(\frac{8}{7} - 4a)$.
Применим формулу разности квадратов:
$(\frac{8}{7} + 4a)(\frac{8}{7} - 4a) = (\frac{8}{7})^2 - (4a)^2 = \frac{64}{49} - 16a^2$.
Наибольшее значение выражения $\frac{64}{49} - 16a^2$ достигается при минимальном значении вычитаемого $16a^2$.
Минимальное значение $16a^2$ равно $0$ и достигается при $a = 0$.
Следовательно, наибольшее значение выражения равно $\frac{64}{49} - 16 \cdot 0^2 = \frac{64}{49}$.
Ответ: $\frac{64}{49}$.