Номер 872, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 872, страница 175.

Условие.

872. Докажите, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n$ — произвольное целое число.

Тогда квадрат этого числа равен $n^2$. Предыдущим по отношению к $n$ целым числом является $(n-1)$, а последующим — $(n+1)$.

Нам необходимо доказать, что квадрат числа $n$ на единицу больше, чем произведение его предыдущего и последующего чисел. Запишем это утверждение в виде математического равенства:

$n^2 = (n-1)(n+1) + 1$

Для доказательства этого тождества преобразуем его правую часть. Выражение $(n-1)(n+1)$ является формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу, приняв $a=n$ и $b=1$:

$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

Теперь подставим полученный результат обратно в правую часть исходного равенства, которое мы доказываем:

$(n-1)(n+1) + 1 = (n^2 - 1) + 1$

Упростим полученное выражение:

$n^2 - 1 + 1 = n^2$

В результате преобразований мы получили, что правая часть равенства $ (n-1)(n+1) + 1 $ тождественно равна его левой части $ n^2 $. Поскольку данное тождество верно для любого числа $n$, оно верно и для любого целого числа.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого целого числа $n$ квадрат этого числа ($n^2$) и произведение предыдущего ($n-1$) и последующего ($n+1$) чисел связаны соотношением $n^2 = (n-1)(n+1) + 1$, так как при раскрытии скобок в правой части с использованием формулы разности квадратов получаем $(n^2 - 1) + 1 = n^2$, что тождественно равно левой части.