Страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

856. С помощью рисунка 72 разъясните геометрический смысл формулы $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для положительных $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$.

Рис. 72

Геометрический смысл формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для положительных $a$ и $b$ при условии $a > b$ можно разъяснить с помощью представленного рисунка, рассматривая площади составных частей фигуры.

Разобьем всю фигуру, изображенную на рисунке 72, на четыре прямоугольника, как показано внутренними линиями, и определим их размеры и площади:

• Верхний левый прямоугольник: его ширина равна $a$, а высота, согласно чертежу, равна разности общей высоты $a$ и высоты нижней части $b$, то есть $a-b$. Его площадь равна $S_1 = a(a-b)$.
• Верхний правый прямоугольник: его ширина равна $b$, а высота — $a-b$. Его площадь равна $S_2 = b(a-b)$.
• Нижний левый прямоугольник: его ширина равна $a$, а высота — $b$. Его площадь равна $S_3 = ab$.
• Нижний правый прямоугольник (квадрат): его ширина равна $b$, и высота равна $b$. Его площадь равна $S_4 = b^2$.

Теперь сопоставим части формулы с площадями на рисунке.

1. Левая часть формулы: $(a-b)(a+b)$

Эта часть представляет собой площадь прямоугольника со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$. На рисунке такой прямоугольник образуется слиянием двух верхних прямоугольников (первого и второго).

Высота этого большого прямоугольника равна $a-b$.

Ширина этого большого прямоугольника равна сумме ширин его частей: $a+b$.

Таким образом, его площадь равна $S_{верх} = (a+b)(a-b)$.

Также эту площадь можно посчитать как сумму площадей ее составляющих: $S_{верх} = S_1 + S_2 = a(a-b) + b(a-b)$.

2. Правая часть формулы: $a^2 - b^2$

Эта часть представляет собой разность площадей двух квадратов: одного со стороной $a$ и другого со стороной $b$.

На рисунке квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$ можно составить из двух левых прямоугольников (первого и третьего). Его высота равна $(a-b)+b=a$, и ширина равна $a$. Площадь этого квадрата равна $S_{левый квадрат} = S_1 + S_3 = a(a-b) + ab = a^2-ab+ab = a^2$.

Квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$ — это нижний правый прямоугольник (четвертый). Его площадь $S_4 = b^2$.

Следовательно, выражение $a^2 - b^2$ геометрически представляет собой площадь левого квадрата ($S_1 + S_3$) за вычетом площади нижнего правого квадрата ($S_4$).

3. Доказательство равенства

Нам нужно доказать, что площадь верхнего большого прямоугольника равна площади левого квадрата минус площадь правого нижнего квадрата.

Площадь верхнего прямоугольника: $S_{верх} = S_1 + S_2$.

Разность площадей квадратов: $S_{левый квадрат} - S_{правый нижний квадрат} = (S_1 + S_3) - S_4$.

Приравняем эти выражения: $S_1 + S_2 = (S_1 + S_3) - S_4$.

Сократим с обеих сторон общую площадь $S_1$: $S_2 = S_3 - S_4$.

Теперь подставим значения площадей, которые мы нашли ранее:

$S_2 = b(a-b) = ab - b^2$.

$S_3 - S_4 = ab - b^2$.

Мы получили тождество: $ab - b^2 = ab - b^2$.

Таким образом, мы геометрически показали, что площадь прямоугольника со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$ равна площади квадрата со стороной $a$ минус площадь квадрата со стороной $b$.

Ответ: Рисунок 72 иллюстрирует тождество $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ путем демонстрации равенства площадей. Площадь большого верхнего прямоугольника со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$ равна сумме площадей составляющих его прямоугольников $S_1$ и $S_2$. Площадь $a^2-b^2$ представляет собой разность площади большого левого квадрата (составленного из $S_1$ и $S_3$) и площади малого правого нижнего квадрата ($S_4$). Равенство площадей $(S_1 + S_2) = (S_1 + S_3) - S_4$ доказывается через равенство $S_2 = S_3 - S_4$, что является верным, так как $b(a-b) = ab - b^2$.

854. Выполните умножение многочленов:

а) $(x - y)(x + y);$

б) $(p + q)(p - q);$

в) $(p - 5)(p + 5);$

г) $(x + 3)(x - 3);$

д) $(2x - 1)(2x + 1);$

е) $(7 + 3y)(3y - 7);$

ж) $(n - 3m)(3m + n);$

з) $(2a - 3b)(3b + 2a);$

и) $(8c + 9d)(9d - 8c).$

а) Для умножения многочленов $(x-y)(x+y)$ используется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. В данном примере $a=x$ и $b=y$.
$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Ответ: $x^2 - y^2$.

б) Выражение $(p+q)(p-q)$ также является разностью квадратов. Применяем ту же формулу $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=p$ и $b=q$.
$(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$.
Ответ: $p^2 - q^2$.

в) Используем формулу разности квадратов для $(p-5)(p+5)$. Здесь $a=p$ и $b=5$.
$(p-5)(p+5) = p^2 - 5^2 = p^2 - 25$.
Ответ: $p^2 - 25$.

г) Для выражения $(x+3)(x-3)$ применяем ту же формулу. Здесь $a=x$ и $b=3$.
$(x+3)(x-3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.
Ответ: $x^2 - 9$.

д) В выражении $(2x-1)(2x+1)$ в качестве $a$ выступает $2x$, а в качестве $b$ — $1$.
По формуле разности квадратов получаем: $(2x-1)(2x+1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$.
Ответ: $4x^2 - 1$.

е) Преобразуем выражение $(7+3y)(3y-7)$. Поменяем местами слагаемые в первой скобке, чтобы оно соответствовало форме $(a+b)$: $(3y+7)$. Теперь выражение имеет вид $(3y+7)(3y-7)$, что является разностью квадратов, где $a=3y$ и $b=7$.
$(3y+7)(3y-7) = (3y)^2 - 7^2 = 9y^2 - 49$.
Ответ: $9y^2 - 49$.

ж) Преобразуем выражение $(n-3m)(3m+n)$. Поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(n+3m)$. Получаем выражение $(n-3m)(n+3m)$, которое является разностью квадратов. Здесь $a=n$ и $b=3m$.
$(n-3m)(n+3m) = n^2 - (3m)^2 = n^2 - 9m^2$.
Ответ: $n^2 - 9m^2$.

з) Преобразуем выражение $(2a-3b)(3b+2a)$. Поменяв слагаемые во второй скобке, получим $(2a+3b)$. Выражение примет вид $(2a-3b)(2a+3b)$, что является разностью квадратов, где $a=2a$ и $b=3b$.
$(2a-3b)(2a+3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$.
Ответ: $4a^2 - 9b^2$.

и) Преобразуем выражение $(8c+9d)(9d-8c)$. Поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(9d+8c)$. Теперь выражение имеет вид $(9d+8c)(9d-8c)$, что является разностью квадратов, где $a=9d$ и $b=8c$.
$(9d+8c)(9d-8c) = (9d)^2 - (8c)^2 = 81d^2 - 64c^2$.
Ответ: $81d^2 - 64c^2$.

855. Выполните умножение:

a) $(y - 4)(y + 4)$

б) $(p - 7)(7 + p)$

в) $(4 + 5y)(5y - 4)$

г) $(7x - 2)(7x + 2)$

д) $(8b + 5a)(5a - 8b)$

е) $(10x - 6c)(10x + 6c)$

Для решения всех пунктов этого задания используется формула сокращенного умножения, называемая "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

а) Выполним умножение $(y - 4)(y + 4)$.
Это выражение полностью соответствует формуле разности квадратов, где $a = y$ и $b = 4$.
Применим формулу: $(y - 4)(y + 4) = y^2 - 4^2$.
Вычислим квадрат числа 4: $4^2 = 16$.
Получаем: $y^2 - 16$.
Ответ: $y^2 - 16$

б) Выполним умножение $(p - 7)(7 + p)$.
Сначала приведем выражение к стандартному виду формулы, поменяв слагаемые во второй скобке местами: $(p - 7)(p + 7)$.
Теперь мы видим, что это формула разности квадратов, где $a = p$ и $b = 7$.
Применим формулу: $(p - 7)(p + 7) = p^2 - 7^2$.
Вычислим квадрат числа 7: $7^2 = 49$.
Получаем: $p^2 - 49$.
Ответ: $p^2 - 49$

в) Выполним умножение $(4 + 5y)(5y - 4)$.
Поменяем слагаемые в первой скобке местами, чтобы выражение соответствовало виду $(a+b)(a-b)$: $(5y + 4)(5y - 4)$.
Это формула разности квадратов, где $a = 5y$ и $b = 4$.
Применим формулу: $(5y + 4)(5y - 4) = (5y)^2 - 4^2$.
Возводим в квадрат каждый множитель: $(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$ и $4^2 = 16$.
Получаем: $25y^2 - 16$.
Ответ: $25y^2 - 16$

г) Выполним умножение $(7x - 2)(7x + 2)$.
Выражение соответствует формуле разности квадратов, где $a = 7x$ и $b = 2$.
Применим формулу: $(7x - 2)(7x + 2) = (7x)^2 - 2^2$.
Возводим в квадрат: $(7x)^2 = 7^2 \cdot x^2 = 49x^2$ и $2^2 = 4$.
Получаем: $49x^2 - 4$.
Ответ: $49x^2 - 4$

д) Выполним умножение $(8b + 5a)(5a - 8b)$.
Поменяем слагаемые в первой скобке местами: $(5a + 8b)(5a - 8b)$.
Это формула разности квадратов, где $a = 5a$ и $b = 8b$.
Применим формулу: $(5a + 8b)(5a - 8b) = (5a)^2 - (8b)^2$.
Возводим в квадрат каждый одночлен: $(5a)^2 = 5^2 \cdot a^2 = 25a^2$ и $(8b)^2 = 8^2 \cdot b^2 = 64b^2$.
Получаем: $25a^2 - 64b^2$.
Ответ: $25a^2 - 64b^2$

е) Выполним умножение $(10x - 6c)(10x + 6c)$.
Выражение соответствует формуле разности квадратов, где $a = 10x$ и $b = 6c$.
Применим формулу: $(10x - 6c)(10x + 6c) = (10x)^2 - (6c)^2$.
Возводим в квадрат каждый одночлен: $(10x)^2 = 10^2 \cdot x^2 = 100x^2$ и $(6c)^2 = 6^2 \cdot c^2 = 36c^2$.
Получаем: $100x^2 - 36c^2$.
Ответ: $100x^2 - 36c^2$