Страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

841. Верно ли, что при любых значениях $x$:

a) $x^2 + 10 > 0;$

б) $x^2 + 20x + 100 > 0?$

а) Чтобы определить, верно ли неравенство $x^2 + 10 > 0$ для любых значений $x$, проанализируем его левую часть.
Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа. По определению, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.
Наименьшее значение, которое может принимать $x^2$, равно 0 (это происходит при $x=0$).
Теперь рассмотрим все выражение $x^2 + 10$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то прибавляя 10 к обеим частям этого неравенства, получаем: $x^2 + 10 \ge 0 + 10$ $x^2 + 10 \ge 10$
Так как 10 строго больше 0, то и выражение $x^2 + 10$ всегда будет строго больше 0. Таким образом, неравенство $x^2 + 10 > 0$ выполняется при любых значениях $x$.
Ответ: да, верно.

б) Рассмотрим неравенство $x^2 + 20x + 100 > 0$.
Выражение в левой части является трехчленом. Можно заметить, что это полный квадрат, который можно свернуть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=10$, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100$.
Следовательно, исходное неравенство можно переписать в виде: $(x+10)^2 > 0$
Квадрат любого выражения $(x+10)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x+10)^2 \ge 0$.
Однако, в задаче стоит знак строгого неравенства ($>$). Это означает, что левая часть не может быть равна нулю. Найдем значение $x$, при котором выражение $(x+10)^2$ равно нулю: $(x+10)^2 = 0$ $x+10 = 0$ $x = -10$
При $x=-10$ левая часть исходного неравенства обращается в ноль: $(-10)^2 + 20(-10) + 100 = 100 - 200 + 100 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным.
Поскольку мы нашли хотя бы одно значение $x$, при котором неравенство не выполняется, утверждение о том, что оно верно при любых значениях $x$, является ложным.
Ответ: нет, неверно.

844. Представьте выражение в виде квадрата двучлена, если это возможно:

а) $ \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9; $

б) $ 25a^2 - 30ab + 9b^2; $

в) $ p^2 - 2p + 4; $

г) $ \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2; $

д) $ 100b^2 + 9c^2 - 60bc; $

е) $ 49x^2 + 12xy + 64y^2. $

Чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, мы будем использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Для каждого выражения мы определим, являются ли первый и третий члены полными квадратами, а затем проверим, равен ли средний член удвоенному произведению оснований этих квадратов.

а) $\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9$

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = \frac{1}{4}x^2 = (\frac{1}{2}x)^2$, следовательно, $a = \frac{1}{2}x$.

$b^2 = 9 = 3^2$, следовательно, $b = 3$.

Теперь проверим средний член. Он должен быть равен $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 3 = 3x$.

Средний член в исходном выражении равен $3x$, что совпадает с нашим результатом. Значит, выражение можно представить в виде квадрата суммы.

$\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 = (\frac{1}{2}x + 3)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}x + 3)^2$.

б) $25a^2 - 30ab + 9b^2$

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = 25a^2 = (5a)^2$, следовательно, $a = 5a$.

$b^2 = 9b^2 = (3b)^2$, следовательно, $b = 3b$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $-2ab$:

$2ab = 2 \cdot (5a) \cdot (3b) = 30ab$.

Средний член в исходном выражении равен $-30ab$, что совпадает с $-2ab$. Значит, выражение можно представить в виде квадрата разности.

$25a^2 - 30ab + 9b^2 = (5a - 3b)^2$.

Ответ: $(5a - 3b)^2$.

в) $p^2 - 2p + 4$

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = p^2$, следовательно, $a = p$.

$b^2 = 4 = 2^2$, следовательно, $b = 2$.

Проверим, каким должен быть средний член $-2ab$:

$2ab = 2 \cdot p \cdot 2 = 4p$.

Средний член в исходном выражении равен $-2p$, а по формуле он должен быть $-4p$. Поскольку $-2p \ne -4p$, данное выражение не является полным квадратом.

Ответ: представить в виде квадрата двучлена невозможно.

г) $\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2$

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = \frac{1}{9}x^2 = (\frac{1}{3}x)^2$, следовательно, $a = \frac{1}{3}x$.

$b^2 = \frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{5}y)^2$, следовательно, $b = \frac{1}{5}y$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{1}{5}y) = \frac{2}{15}xy$.

Средний член в исходном выражении равен $\frac{2}{15}xy$, что совпадает с нашим результатом. Значит, выражение можно представить в виде квадрата суммы.

$\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)^2$.

д) $100b^2 + 9c^2 - 60bc$

Сначала изменим порядок членов для удобства: $100b^2 - 60bc + 9c^2$.

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = 100b^2 = (10b)^2$, следовательно, $a = 10b$.

$b^2 = 9c^2 = (3c)^2$, следовательно, $b = 3c$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $-2ab$:

$2ab = 2 \cdot (10b) \cdot (3c) = 60bc$.

Средний член в исходном выражении равен $-60bc$, что совпадает с $-2ab$. Значит, выражение можно представить в виде квадрата разности.

$100b^2 - 60bc + 9c^2 = (10b - 3c)^2$.

Ответ: $(10b - 3c)^2$.

е) $49x^2 + 12xy + 64y^2$

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = 49x^2 = (7x)^2$, следовательно, $a = 7x$.

$b^2 = 64y^2 = (8y)^2$, следовательно, $b = 8y$.

Проверим, каким должен быть средний член $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (7x) \cdot (8y) = 112xy$.

Средний член в исходном выражении равен $12xy$, а по формуле он должен быть $112xy$. Поскольку $12xy \ne 112xy$, данное выражение не является полным квадратом.

Ответ: представить в виде квадрата двучлена невозможно.

847. Докажите, что при любом значении x многочлен $x^2 + 6x + 10$ принимает положительные значения.

Чтобы доказать, что многочлен $x^2 + 6x + 10$ принимает положительные значения при любом значении $x$, необходимо показать, что неравенство $x^2 + 6x + 10 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Исходный многочлен: $x^2 + 6x + 10$.

Формула квадрата суммы двух чисел имеет вид: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2 + 6x$ можно рассматривать как первые два слагаемых этой формулы, где $a=x$. Тогда $2ab = 2xb = 6x$, откуда находим $b=3$. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $b^2 = 3^2 = 9$.

Представим число 10 в виде суммы $9 + 1$ и перегруппируем слагаемые в исходном многочлене:

$x^2 + 6x + 10 = x^2 + 6x + 9 + 1$

Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат:

$(x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$

Таким образом, мы преобразовали исходный многочлен к виду $(x+3)^2 + 1$. Проанализируем это выражение:

1. Выражение в скобках $(x+3)$ является действительным числом для любого $x$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+3)^2 \ge 0$.

2. К этому неотрицательному значению $(x+3)^2$ прибавляется 1. Если к числу, которое больше или равно нулю, прибавить положительное число 1, то результат всегда будет строго больше нуля.

Математически это можно записать так:

Поскольку $(x+3)^2 \ge 0$, то $(x+3)^2 + 1 \ge 0 + 1$.

Следовательно, $(x+3)^2 + 1 \ge 1$.

Так как $1 > 0$, то и значение всего выражения всегда будет положительным при любом значении $x$. Это доказывает, что многочлен $x^2 + 6x + 10$ принимает только положительные значения.

Ответ: Исходный многочлен $x^2 + 6x + 10$ можно представить в виде $(x+3)^2 + 1$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, $(x+3)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+3)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$. Поскольку наименьшее значение многочлена равно 1 (что больше 0), он принимает только положительные значения, что и требовалось доказать.

850. Запишите в виде выражения:

a) квадрат суммы $3a$ и $\frac{1}{3}b$;

б) сумму квадратов $0.5m$ и $5.3n$;

в) произведение $0.6x^2$ и $9y^2$.

а) Чтобы записать "квадрат суммы", сначала нужно составить саму сумму выражений $3a$ и $\frac{1}{3}b$. Эта сумма записывается как $3a + \frac{1}{3}b$. Затем, чтобы найти квадрат этой суммы, нужно всё выражение возвести во вторую степень, обязательно взяв его в скобки. Таким образом, искомое выражение имеет вид: $(3a + \frac{1}{3}b)^2$.

Ответ: $(3a + \frac{1}{3}b)^2$.

б) Чтобы записать "сумму квадратов", сначала нужно найти квадрат каждого из данных выражений, а затем сложить результаты.
Квадрат первого выражения $0,5m$ равен $(0,5m)^2 = 0,5^2 \cdot m^2 = 0,25m^2$.
Квадрат второго выражения $5,3n$ равен $(5,3n)^2 = 5,3^2 \cdot n^2 = 28,09n^2$.
Сумма этих квадратов будет: $0,25m^2 + 28,09n^2$.

Ответ: $0,25m^2 + 28,09n^2$.

в) "Произведение" означает результат умножения. Нам нужно перемножить выражения $0,6x^2$ и $9y^2$. Запишем это действие: $0,6x^2 \cdot 9y^2$. Для упрощения этого выражения мы перемножаем числовые коэффициенты и буквенные множители: $(0,6 \cdot 9) \cdot (x^2 \cdot y^2) = 5,4x^2y^2$.

Ответ: $5,4x^2y^2$.

842. Сравните с нулём значение выражения:

а) $x^2 - 30x + 225$;

б) $-x^2 + 2xy - y^2$.

а) Чтобы сравнить значение выражения $x^2 - 30x + 225$ с нулём, преобразуем его, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном трёхчлене первый член — это $x^2$, а третий — $225 = 15^2$. Проверим, является ли второй член удвоенным произведением $x$ и $15$: $2 \cdot x \cdot 15 = 30x$.

Так как все условия выполняются, мы можем свернуть выражение в полный квадрат:

$x^2 - 30x + 225 = (x - 15)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю. Следовательно, $(x - 15)^2 \geq 0$ при любом значении переменной $x$.

Значение выражения равно нулю при $x = 15$ и положительно при всех остальных значениях $x$.

Ответ: значение выражения больше или равно нулю ($x^2 - 30x + 225 \geq 0$).

б) Чтобы сравнить значение выражения $-x^2 + 2xy - y^2$ с нулём, вынесем знак минус за скобки:

$-x^2 + 2xy - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2)$

Выражение в скобках $x^2 - 2xy + y^2$ представляет собой формулу квадрата разности $(x-y)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как:

$-(x - y)^2$

Значение $(x - y)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) при любых значениях $x$ и $y$.

Когда мы умножаем неотрицательное число на -1, результат всегда становится неположительным (меньшим или равным нулю). Следовательно, $-(x - y)^2 \leq 0$.

Значение выражения равно нулю при $x = y$ и отрицательно при $x \neq y$.

Ответ: значение выражения меньше или равно нулю ($-x^2 + 2xy - y^2 \leq 0$).

845. Преобразуйте выражение в квадрат двучлена:

a) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$;

б) $\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2$;

в) $\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4$;

г) $a^2x^2 - 2abx + b^2$.

а) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$

Для преобразования данного выражения в квадрат двучлена воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сначала представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$x^4 = (x^2)^2$

$16y^4 = (4y^2)^2$

Таким образом, мы можем предположить, что в нашей формуле $a = x^2$ и $b = 4y^2$.

Теперь проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $a$ и $b$ со знаком минус:

$-2ab = -2 \cdot (x^2) \cdot (4y^2) = -8x^2y^2$.

Средний член выражения $(-8x^2y^2)$ совпадает с полученным результатом. Следовательно, исходное выражение является полным квадратом разности двучлена $x^2$ и $4y^2$.

$x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 4y^2 + (4y^2)^2 = (x^2 - 4y^2)^2$.

Ответ: $(x^2 - 4y^2)^2$.

б) $\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2$

Для преобразования воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$\frac{1}{16}x^4 = (\frac{1}{4}x^2)^2$

$16a^2 = (4a)^2$

В данном случае $a = \frac{1}{4}x^2$ и $b = 4a$.

Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{4}x^2) \cdot (4a) = (2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4) \cdot x^2a = 2x^2a$.

Средний член $(2x^2a)$ совпадает. Таким образом, исходное выражение является полным квадратом суммы двучлена $\frac{1}{4}x^2$ и $4a$.

$\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2 = (\frac{1}{4}x^2)^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4a + (4a)^2 = (\frac{1}{4}x^2 + 4a)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{4}x^2 + 4a)^2$.

в) $\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4$

Используем формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$\frac{1}{4}a^2 = (\frac{1}{2}a)^2$

$4b^4 = (2b^2)^2$

Здесь можно принять $x = \frac{1}{2}a$ и $y = 2b^2$.

Проверим, соответствует ли средний член удвоенному произведению $x$ и $y$:

$2xy = 2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (2b^2) = (2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2) \cdot ab^2 = 2ab^2$.

Средний член $(2ab^2)$ совпадает, значит, это полный квадрат суммы двучлена $\frac{1}{2}a$ и $2b^2$.

$\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 2b^2 + (2b^2)^2 = (\frac{1}{2}a + 2b^2)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a + 2b^2)^2$.

г) $a^2x^2 - 2abx + b^2$

Используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$a^2x^2 = (ax)^2$

$b^2 = (b)^2$

В этом выражении $x$ из формулы соответствует $ax$, а $y$ из формулы соответствует $b$.

Проверим средний член:

$-2xy = -2 \cdot (ax) \cdot (b) = -2abx$.

Средний член $(-2abx)$ совпадает. Следовательно, выражение является полным квадратом разности двучлена $ax$ и $b$.

$a^2x^2 - 2abx + b^2 = (ax)^2 - 2 \cdot ax \cdot b + b^2 = (ax - b)^2$.

Ответ: $(ax - b)^2$.

848. Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:

а) $x^2 + 2x + 2;$

б) $4y^2 - 4y + 6;$

в) $a^2 + b^2 - 2ab + 1;$

г) $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2.$

а) Чтобы доказать, что выражение $x^2 + 2x + 2$ принимает лишь положительные значения, выделим в нем полный квадрат. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим выражение в следующем виде:
$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 2 = (x+1)^2 - 1 + 2 = (x+1)^2 + 1$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x+1)^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет всегда больше или равен 1.
$(x+1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, то и выражение $(x+1)^2 + 1$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Выражение $x^2 + 2x + 2$ можно представить в виде $(x+1)^2 + 1$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для любых $x$, то $(x+1)^2 + 1 \ge 1$, что является положительным значением.

б) Чтобы доказать, что выражение $4y^2 - 4y + 6$ принимает лишь положительные значения, выделим в нем полный квадрат. Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим выражение в следующем виде:
$4y^2 - 4y + 6 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 1 + 6$.
Для полного квадрата не хватает $1^2$. Добавим и вычтем его:
$((2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 6 = (2y-1)^2 - 1 + 6 = (2y-1)^2 + 5$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(2y-1)^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить 5, результат будет всегда больше или равен 5.
$(2y-1)^2 + 5 \ge 0 + 5 = 5$.
Так как $5 > 0$, то и выражение $(2y-1)^2 + 5$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Выражение $4y^2 - 4y + 6$ можно представить в виде $(2y-1)^2 + 5$. Так как $(2y-1)^2 \ge 0$ для любых $y$, то $(2y-1)^2 + 5 \ge 5$, что является положительным значением.

в) Чтобы доказать, что выражение $a^2 + b^2 - 2ab + 1$ принимает лишь положительные значения, сгруппируем слагаемые.

$a^2 + b^2 - 2ab + 1 = (a^2 - 2ab + b^2) + 1$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $(a-b)^2 + 1$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a-b)^2 \ge 0$ для любых значений $a$ и $b$.
Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет всегда больше или равен 1.
$(a-b)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, то и выражение $(a-b)^2 + 1$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Выражение $a^2 + b^2 - 2ab + 1$ можно представить в виде $(a-b)^2 + 1$. Так как $(a-b)^2 \ge 0$ для любых $a$ и $b$, то $(a-b)^2 + 1 \ge 1$, что является положительным значением.

г) Чтобы доказать, что выражение $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$ принимает лишь положительные значения, сгруппируем слагаемые и выделим полный квадрат.

Перепишем выражение в более удобном порядке: $9x^2 - 6xy + 4y^2 + 4$.
Попытаемся выделить полный квадрат, используя слагаемые с переменными: $9x^2 - 6xy$.
$9x^2 - 6xy + 4y^2 + 4 = ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2) - y^2 + 4y^2 + 4$.
Мы добавили и вычли $y^2$, чтобы получить формулу квадрата разности.
$(3x - y)^2 - y^2 + 4y^2 + 4 = (3x - y)^2 + 3y^2 + 4$.

Теперь проанализируем полученное выражение:
1. $(3x - y)^2$ — это квадрат числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(3x-y)^2 \ge 0$.
2. $y^2$ — это квадрат числа, его значение неотрицательно: $y^2 \ge 0$. Следовательно, $3y^2 \ge 0$.
3. Сумма двух неотрицательных чисел $(3x-y)^2 + 3y^2$ также неотрицательна.
4. Если к неотрицательной сумме прибавить 4, результат будет больше или равен 4: $(3x-y)^2 + 3y^2 + 4 \ge 0 + 0 + 4 = 4$.
Так как $4 > 0$, то и выражение $(3x - y)^2 + 3y^2 + 4$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Выражение $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$ можно представить в виде $(3x - y)^2 + 3y^2 + 4$. Так как $(3x-y)^2 \ge 0$ и $3y^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$, то их сумма неотрицательна, а все выражение не меньше 4, то есть всегда положительно.

840. Найдите значение выражения:

a) $y^2 - 2y + 1$ при $y = 101; -11; 0,6;

б) $4x^2 - 20x + 25$ при $x = 12,5; 0; -2;

в) $25a^2 + 49 + 70a$ при $a = 0,4; -2; -1,6.

а) Найдем значение выражения $y^2 - 2y + 1$ при $y = 101; -11; 0,6$.

Сначала заметим, что данное выражение является полным квадратом разности. Используем формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = (y-1)^2$

Теперь подставим заданные значения $y$ в упрощенное выражение:

• При $y = 101$: $(101 - 1)^2 = 100^2 = 10000$.
• При $y = -11$: $(-11 - 1)^2 = (-12)^2 = 144$.
• При $y = 0,6$: $(0,6 - 1)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$.

Ответ: 10000; 144; 0,16.

б) Найдем значение выражения $4x^2 - 20x + 25$ при $x = 12,5; 0; -2$.

Данное выражение также является полным квадратом разности. Представим его в виде $(a-b)^2$.

$4x^2 - 20x + 25 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5 + 5^2 = (2x-5)^2$

Подставим заданные значения $x$ в полученное выражение:

• При $x = 12,5$: $(2 \cdot 12,5 - 5)^2 = (25 - 5)^2 = 20^2 = 400$.
• При $x = 0$: $(2 \cdot 0 - 5)^2 = (0 - 5)^2 = (-5)^2 = 25$.
• При $x = -2$: $(2 \cdot (-2) - 5)^2 = (-4 - 5)^2 = (-9)^2 = 81$.

Ответ: 400; 25; 81.

в) Найдем значение выражения $25a^2 + 49 + 70a$ при $a = 0,4; -2; -1,6$.

Переставим слагаемые для удобства: $25a^2 + 70a + 49$. Это выражение является полным квадратом суммы. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$25a^2 + 70a + 49 = (5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot 7 + 7^2 = (5a+7)^2$

Подставим заданные значения $a$ в упрощенное выражение:

• При $a = 0,4$: $(5 \cdot 0,4 + 7)^2 = (2 + 7)^2 = 9^2 = 81$.
• При $a = -2$: $(5 \cdot (-2) + 7)^2 = (-10 + 7)^2 = (-3)^2 = 9$.
• При $a = -1,6$: $(5 \cdot (-1,6) + 7)^2 = (-8 + 7)^2 = (-1)^2 = 1$.

Ответ: 81; 9; 1.

843. Поставьте вместо многоточия какой-либо из знаков $\ge$ или $\le$ так, чтобы получившееся неравенство было верно при любом значении $x$:

а) $x^2 - 16x + 64 \ldots 0;$

б) $16 + 8x + x^2 \ldots 0;$

в) $-x^2 - 4x - 4 \ldots 0;$

г) $-x^2 + 18x - 81 \ldots 0.$

а) Рассмотрим выражение $x^2 - 16x + 64$. Данное выражение представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = x$ и $b = 8$, так как $x^2$ является квадратом $x$, а $64$ является квадратом $8$. Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot x \cdot 8 = 16x$. Таким образом, выражение можно записать в виде $(x-8)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть он больше или равен нулю. Следовательно, неравенство будет верным при любом значении $x$, если поставить знак $\ge$.
Ответ: $x^2 - 16x + 64 \ge 0$.

б) Рассмотрим выражение $16 + 8x + x^2$. Перепишем его в стандартном виде $x^2 + 8x + 16$. Данное выражение представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = x$ и $b = 4$. Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Таким образом, выражение можно записать в виде $(x+4)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, неравенство будет верным при любом значении $x$, если поставить знак $\ge$.
Ответ: $16 + 8x + x^2 \ge 0$.

в) Рассмотрим выражение $-x^2 - 4x - 4$. Вынесем знак минус за скобки: $-(x^2 + 4x + 4)$. Выражение в скобках, $x^2 + 4x + 4$, является полным квадратом суммы $(x+2)^2$. Таким образом, исходное выражение можно записать как $-(x+2)^2$. Поскольку выражение $(x+2)^2$ всегда больше или равно нулю, то при умножении на $-1$ оно станет меньше или равно нулю. Следовательно, неравенство будет верным при любом значении $x$, если поставить знак $\le$.
Ответ: $-x^2 - 4x - 4 \le 0$.

г) Рассмотрим выражение $-x^2 + 18x - 81$. Вынесем знак минус за скобки: $-(x^2 - 18x + 81)$. Выражение в скобках, $x^2 - 18x + 81$, является полным квадратом разности $(x-9)^2$. Таким образом, исходное выражение можно записать как $-(x-9)^2$. Поскольку выражение $(x-9)^2$ всегда больше или равно нулю, то при умножении на $-1$ оно станет меньше или равно нулю. Следовательно, неравенство будет верным при любом значении $x$, если поставить знак $\le$.
Ответ: $-x^2 + 18x - 81 \le 0$.

846. Разложите на множители трёхчлен:

а) $4a^6 - 4a^3b^2 + b^4$;

б) $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4$.

а) $4a^6 - 4a^3b^2 + b^4$

Данный трёхчлен является полным квадратом разности. Для его разложения на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим первый член $4a^6$ в виде квадрата: $4a^6 = (2a^3)^2$.

Представим третий член $b^4$ в виде квадрата: $b^4 = (b^2)^2$.

В этом случае $x = 2a^3$ и $y = b^2$. Проверим, равен ли средний член выражения $-2xy$.

$-2xy = -2 \cdot (2a^3) \cdot (b^2) = -4a^3b^2$.

Это значение совпадает со средним членом исходного трёхчлена, поэтому формула применима.

$4a^6 - 4a^3b^2 + b^4 = (2a^3)^2 - 2 \cdot (2a^3) \cdot (b^2) + (b^2)^2 = (2a^3 - b^2)^2$.

Ответ: $(2a^3 - b^2)^2$.

б) $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4$

Этот трёхчлен также является полным квадратом разности и его можно разложить по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим первый член $b^8$ в виде квадрата: $b^8 = (b^4)^2$.

Представим третий член $\frac{1}{4}a^4$ в виде квадрата: $\frac{1}{4}a^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2$.

В этом случае $x = b^4$ и $y = \frac{1}{2}a^2$. Проверим, равен ли средний член выражения $-2xy$.

$-2xy = -2 \cdot b^4 \cdot (\frac{1}{2}a^2) = -a^2b^4$.

Это значение совпадает со средним членом исходного трёхчлена, значит, формула верна.

$b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 = (b^4)^2 - 2 \cdot b^4 \cdot (\frac{1}{2}a^2) + (\frac{1}{2}a^2)^2 = (b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$.

Ответ: $(b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$.

849. Прочитайте выражение:

а) $(a - 10b)^2$;

б) $a^2 - (10b)^2$;

в) $(a + 10b)(a - 10b)$.

а) Выражение $(a - 10b)^2$ — это формула сокращенного умножения, которая называется «квадрат разности». Читается данное выражение так: «квадрат разности выражений $a$ и $10b$».

По общей формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где в данном случае $x = a$, а $y = 10b$.

Ответ: квадрат разности выражений $a$ и $10b$.

б) Выражение $a^2 - (10b)^2$ — это формула сокращенного умножения «разность квадратов». Читается это выражение следующим образом: «разность квадратов выражений $a$ и $10b$».

Общая формула имеет вид $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В этом примере $x = a$, а $y = 10b$.

Ответ: разность квадратов выражений $a$ и $10b$.

в) Выражение $(a + 10b)(a - 10b)$ — это произведение двух двучленов, которое соответствует разложенной на множители формуле «разность квадратов». Читается это выражение так: «произведение суммы и разности выражений $a$ и $10b$».

При раскрытии скобок по формуле $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ мы получим выражение из предыдущего пункта. Здесь $x = a$ и $y = 10b$.

Ответ: произведение суммы и разности выражений $a$ и $10b$.