Номер 842, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 842, страница 171.

Условие.

842. Сравните с нулём значение выражения:

а) $x^2 - 30x + 225$;

б) $-x^2 + 2xy - y^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы сравнить значение выражения $x^2 - 30x + 225$ с нулём, преобразуем его, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном трёхчлене первый член — это $x^2$, а третий — $225 = 15^2$. Проверим, является ли второй член удвоенным произведением $x$ и $15$: $2 \cdot x \cdot 15 = 30x$.

Так как все условия выполняются, мы можем свернуть выражение в полный квадрат:

$x^2 - 30x + 225 = (x - 15)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю. Следовательно, $(x - 15)^2 \geq 0$ при любом значении переменной $x$.

Значение выражения равно нулю при $x = 15$ и положительно при всех остальных значениях $x$.

Ответ: значение выражения больше или равно нулю ($x^2 - 30x + 225 \geq 0$).

б) Чтобы сравнить значение выражения $-x^2 + 2xy - y^2$ с нулём, вынесем знак минус за скобки:

$-x^2 + 2xy - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2)$

Выражение в скобках $x^2 - 2xy + y^2$ представляет собой формулу квадрата разности $(x-y)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как:

$-(x - y)^2$

Значение $(x - y)^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю) при любых значениях $x$ и $y$.

Когда мы умножаем неотрицательное число на -1, результат всегда становится неположительным (меньшим или равным нулю). Следовательно, $-(x - y)^2 \leq 0$.

Значение выражения равно нулю при $x = y$ и отрицательно при $x \neq y$.

Ответ: значение выражения меньше или равно нулю ($-x^2 + 2xy - y^2 \leq 0$).