Номер 845, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 845, страница 171.

Условие.

845. Преобразуйте выражение в квадрат двучлена:

a) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$;

б) $\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2$;

в) $\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4$;

г) $a^2x^2 - 2abx + b^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$

Для преобразования данного выражения в квадрат двучлена воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сначала представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$x^4 = (x^2)^2$

$16y^4 = (4y^2)^2$

Таким образом, мы можем предположить, что в нашей формуле $a = x^2$ и $b = 4y^2$.

Теперь проверим, равен ли средний член выражения удвоенному произведению $a$ и $b$ со знаком минус:

$-2ab = -2 \cdot (x^2) \cdot (4y^2) = -8x^2y^2$.

Средний член выражения $(-8x^2y^2)$ совпадает с полученным результатом. Следовательно, исходное выражение является полным квадратом разности двучлена $x^2$ и $4y^2$.

$x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 4y^2 + (4y^2)^2 = (x^2 - 4y^2)^2$.

Ответ: $(x^2 - 4y^2)^2$.

б) $\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2$

Для преобразования воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$\frac{1}{16}x^4 = (\frac{1}{4}x^2)^2$

$16a^2 = (4a)^2$

В данном случае $a = \frac{1}{4}x^2$ и $b = 4a$.

Проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{4}x^2) \cdot (4a) = (2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4) \cdot x^2a = 2x^2a$.

Средний член $(2x^2a)$ совпадает. Таким образом, исходное выражение является полным квадратом суммы двучлена $\frac{1}{4}x^2$ и $4a$.

$\frac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2 = (\frac{1}{4}x^2)^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}x^2 \cdot 4a + (4a)^2 = (\frac{1}{4}x^2 + 4a)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{4}x^2 + 4a)^2$.

в) $\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4$

Используем формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$\frac{1}{4}a^2 = (\frac{1}{2}a)^2$

$4b^4 = (2b^2)^2$

Здесь можно принять $x = \frac{1}{2}a$ и $y = 2b^2$.

Проверим, соответствует ли средний член удвоенному произведению $x$ и $y$:

$2xy = 2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (2b^2) = (2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2) \cdot ab^2 = 2ab^2$.

Средний член $(2ab^2)$ совпадает, значит, это полный квадрат суммы двучлена $\frac{1}{2}a$ и $2b^2$.

$\frac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 2b^2 + (2b^2)^2 = (\frac{1}{2}a + 2b^2)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a + 2b^2)^2$.

г) $a^2x^2 - 2abx + b^2$

Используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим первый и третий члены выражения в виде квадратов:

$a^2x^2 = (ax)^2$

$b^2 = (b)^2$

В этом выражении $x$ из формулы соответствует $ax$, а $y$ из формулы соответствует $b$.

Проверим средний член:

$-2xy = -2 \cdot (ax) \cdot (b) = -2abx$.

Средний член $(-2abx)$ совпадает. Следовательно, выражение является полным квадратом разности двучлена $ax$ и $b$.

$a^2x^2 - 2abx + b^2 = (ax)^2 - 2 \cdot ax \cdot b + b^2 = (ax - b)^2$.

Ответ: $(ax - b)^2$.