Номер 847, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 847, страница 171.

Условие.

847. Докажите, что при любом значении x многочлен $x^2 + 6x + 10$ принимает положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что многочлен $x^2 + 6x + 10$ принимает положительные значения при любом значении $x$, необходимо показать, что неравенство $x^2 + 6x + 10 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Исходный многочлен: $x^2 + 6x + 10$.

Формула квадрата суммы двух чисел имеет вид: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2 + 6x$ можно рассматривать как первые два слагаемых этой формулы, где $a=x$. Тогда $2ab = 2xb = 6x$, откуда находим $b=3$. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $b^2 = 3^2 = 9$.

Представим число 10 в виде суммы $9 + 1$ и перегруппируем слагаемые в исходном многочлене:

$x^2 + 6x + 10 = x^2 + 6x + 9 + 1$

Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат:

$(x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$

Таким образом, мы преобразовали исходный многочлен к виду $(x+3)^2 + 1$. Проанализируем это выражение:

1. Выражение в скобках $(x+3)$ является действительным числом для любого $x$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+3)^2 \ge 0$.

2. К этому неотрицательному значению $(x+3)^2$ прибавляется 1. Если к числу, которое больше или равно нулю, прибавить положительное число 1, то результат всегда будет строго больше нуля.

Математически это можно записать так:

Поскольку $(x+3)^2 \ge 0$, то $(x+3)^2 + 1 \ge 0 + 1$.

Следовательно, $(x+3)^2 + 1 \ge 1$.

Так как $1 > 0$, то и значение всего выражения всегда будет положительным при любом значении $x$. Это доказывает, что многочлен $x^2 + 6x + 10$ принимает только положительные значения.

Ответ: Исходный многочлен $x^2 + 6x + 10$ можно представить в виде $(x+3)^2 + 1$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, $(x+3)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, наименьшее значение выражения $(x+3)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$. Поскольку наименьшее значение многочлена равно 1 (что больше 0), он принимает только положительные значения, что и требовалось доказать.