Номер 844, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 844, страница 171.

Условие.

844. Представьте выражение в виде квадрата двучлена, если это возможно:

а) $ \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9; $

б) $ 25a^2 - 30ab + 9b^2; $

в) $ p^2 - 2p + 4; $

г) $ \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2; $

д) $ 100b^2 + 9c^2 - 60bc; $

е) $ 49x^2 + 12xy + 64y^2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, мы будем использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Для каждого выражения мы определим, являются ли первый и третий члены полными квадратами, а затем проверим, равен ли средний член удвоенному произведению оснований этих квадратов.

а) $\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9$

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = \frac{1}{4}x^2 = (\frac{1}{2}x)^2$, следовательно, $a = \frac{1}{2}x$.

$b^2 = 9 = 3^2$, следовательно, $b = 3$.

Теперь проверим средний член. Он должен быть равен $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 3 = 3x$.

Средний член в исходном выражении равен $3x$, что совпадает с нашим результатом. Значит, выражение можно представить в виде квадрата суммы.

$\frac{1}{4}x^2 + 3x + 9 = (\frac{1}{2}x + 3)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}x + 3)^2$.

б) $25a^2 - 30ab + 9b^2$

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = 25a^2 = (5a)^2$, следовательно, $a = 5a$.

$b^2 = 9b^2 = (3b)^2$, следовательно, $b = 3b$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $-2ab$:

$2ab = 2 \cdot (5a) \cdot (3b) = 30ab$.

Средний член в исходном выражении равен $-30ab$, что совпадает с $-2ab$. Значит, выражение можно представить в виде квадрата разности.

$25a^2 - 30ab + 9b^2 = (5a - 3b)^2$.

Ответ: $(5a - 3b)^2$.

в) $p^2 - 2p + 4$

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = p^2$, следовательно, $a = p$.

$b^2 = 4 = 2^2$, следовательно, $b = 2$.

Проверим, каким должен быть средний член $-2ab$:

$2ab = 2 \cdot p \cdot 2 = 4p$.

Средний член в исходном выражении равен $-2p$, а по формуле он должен быть $-4p$. Поскольку $-2p \ne -4p$, данное выражение не является полным квадратом.

Ответ: представить в виде квадрата двучлена невозможно.

г) $\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2$

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = \frac{1}{9}x^2 = (\frac{1}{3}x)^2$, следовательно, $a = \frac{1}{3}x$.

$b^2 = \frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{5}y)^2$, следовательно, $b = \frac{1}{5}y$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{1}{5}y) = \frac{2}{15}xy$.

Средний член в исходном выражении равен $\frac{2}{15}xy$, что совпадает с нашим результатом. Значит, выражение можно представить в виде квадрата суммы.

$\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{15}xy + \frac{1}{25}y^2 = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)^2$.

д) $100b^2 + 9c^2 - 60bc$

Сначала изменим порядок членов для удобства: $100b^2 - 60bc + 9c^2$.

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = 100b^2 = (10b)^2$, следовательно, $a = 10b$.

$b^2 = 9c^2 = (3c)^2$, следовательно, $b = 3c$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $-2ab$:

$2ab = 2 \cdot (10b) \cdot (3c) = 60bc$.

Средний член в исходном выражении равен $-60bc$, что совпадает с $-2ab$. Значит, выражение можно представить в виде квадрата разности.

$100b^2 - 60bc + 9c^2 = (10b - 3c)^2$.

Ответ: $(10b - 3c)^2$.

е) $49x^2 + 12xy + 64y^2$

Проверим, соответствует ли выражение формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов:

$a^2 = 49x^2 = (7x)^2$, следовательно, $a = 7x$.

$b^2 = 64y^2 = (8y)^2$, следовательно, $b = 8y$.

Проверим, каким должен быть средний член $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (7x) \cdot (8y) = 112xy$.

Средний член в исходном выражении равен $12xy$, а по формуле он должен быть $112xy$. Поскольку $12xy \ne 112xy$, данное выражение не является полным квадратом.

Ответ: представить в виде квадрата двучлена невозможно.