Номер 846, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 846, страница 171.

Условие.

846. Разложите на множители трёхчлен:

а) $4a^6 - 4a^3b^2 + b^4$;

б) $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $4a^6 - 4a^3b^2 + b^4$

Данный трёхчлен является полным квадратом разности. Для его разложения на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим первый член $4a^6$ в виде квадрата: $4a^6 = (2a^3)^2$.

Представим третий член $b^4$ в виде квадрата: $b^4 = (b^2)^2$.

В этом случае $x = 2a^3$ и $y = b^2$. Проверим, равен ли средний член выражения $-2xy$.

$-2xy = -2 \cdot (2a^3) \cdot (b^2) = -4a^3b^2$.

Это значение совпадает со средним членом исходного трёхчлена, поэтому формула применима.

$4a^6 - 4a^3b^2 + b^4 = (2a^3)^2 - 2 \cdot (2a^3) \cdot (b^2) + (b^2)^2 = (2a^3 - b^2)^2$.

Ответ: $(2a^3 - b^2)^2$.

б) $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4$

Этот трёхчлен также является полным квадратом разности и его можно разложить по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Представим первый член $b^8$ в виде квадрата: $b^8 = (b^4)^2$.

Представим третий член $\frac{1}{4}a^4$ в виде квадрата: $\frac{1}{4}a^4 = (\frac{1}{2}a^2)^2$.

В этом случае $x = b^4$ и $y = \frac{1}{2}a^2$. Проверим, равен ли средний член выражения $-2xy$.

$-2xy = -2 \cdot b^4 \cdot (\frac{1}{2}a^2) = -a^2b^4$.

Это значение совпадает со средним членом исходного трёхчлена, значит, формула верна.

$b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 = (b^4)^2 - 2 \cdot b^4 \cdot (\frac{1}{2}a^2) + (\frac{1}{2}a^2)^2 = (b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$.

Ответ: $(b^4 - \frac{1}{2}a^2)^2$.