Номер 839, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 839, страница 170.

Условие.

839. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) $-1 + 4a - 4a^2;$

б) $-42a + 9a^2 + 49;$

в) $24ab - 16a^2 - 9b^2;$

г) $-44ax + 121a^2 + 4x^2;$

д) $4cd - 25c^2 - 0,16d^2;$

е) $-0,49x^2 - 1,4xy - y^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить трехчлен $-1 + 4a - 4a^2$ в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, вынесем за скобки $-1$:
$-1 + 4a - 4a^2 = -(1 - 4a + 4a^2)$.
Переставим слагаемые в скобках для удобства: $-(4a^2 - 4a + 1)$.
Выражение в скобках $4a^2 - 4a + 1$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x^2 = 4a^2$, значит $x = 2a$. $y^2 = 1$, значит $y=1$. Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 2a \cdot 1 = 4a$.
Следовательно, $4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(2a - 1)^2$.
Ответ: $-(2a - 1)^2$.

б) Переставим слагаемые в трехчлене $-42a + 9a^2 + 49$, чтобы привести его к стандартному виду:
$9a^2 - 42a + 49$.
Это выражение соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 9a^2$, значит $x = 3a$. $y^2 = 49$, значит $y=7$.
Проверим средний член, который должен быть удвоенным произведением: $2xy = 2 \cdot 3a \cdot 7 = 42a$.
Значит, выражение $9a^2 - 42a + 49$ является полным квадратом разности $(3a - 7)^2$.
Ответ: $(3a - 7)^2$.

в) В трехчлене $24ab - 16a^2 - 9b^2$ члены с квадратами переменных ($16a^2$ и $9b^2$) имеют отрицательные знаки. Это указывает на то, что нужно вынести $-1$ за скобки:
$24ab - 16a^2 - 9b^2 = -( -24ab + 16a^2 + 9b^2)$.
Переставим слагаемые в скобках: $-(16a^2 - 24ab + 9b^2)$.
Выражение в скобках $16a^2 - 24ab + 9b^2$ является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 16a^2$, значит $x = 4a$. $y^2 = 9b^2$, значит $y=3b$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 4a \cdot 3b = 24ab$.
Следовательно, $16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a - 3b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(4a - 3b)^2$.
Ответ: $-(4a - 3b)^2$.

г) Переставим слагаемые в трехчлене $-44ax + 121a^2 + 4x^2$, чтобы получить стандартный вид:
$121a^2 - 44ax + 4x^2$.
Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 121a^2$, значит $x = 11a$. $y^2 = 4x^2$, значит $y=2x$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 11a \cdot 2x = 44ax$.
Следовательно, выражение $121a^2 - 44ax + 4x^2$ является полным квадратом разности $(11a - 2x)^2$.
Ответ: $(11a - 2x)^2$.

д) В трехчлене $4cd - 25c^2 - 0,16d^2$ члены с квадратами переменных ($25c^2$ и $0,16d^2$) имеют отрицательные знаки. Вынесем $-1$ за скобки:
$4cd - 25c^2 - 0,16d^2 = -(-4cd + 25c^2 + 0,16d^2)$.
Переставим слагаемые в скобках: $-(25c^2 - 4cd + 0,16d^2)$.
Выражение в скобках $25c^2 - 4cd + 0,16d^2$ соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 25c^2$, значит $x = 5c$. $y^2 = 0,16d^2$, значит $y=0,4d$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 5c \cdot 0,4d = 4cd$.
Следовательно, $25c^2 - 4cd + 0,16d^2 = (5c - 0,4d)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(5c - 0,4d)^2$.
Ответ: $-(5c - 0,4d)^2$.

е) В трехчлене $-0,49x^2 - 1,4xy - y^2$ все члены отрицательны. Вынесем $-1$ за скобки:
$-0,49x^2 - 1,4xy - y^2 = -(0,49x^2 + 1,4xy + y^2)$.
Выражение в скобках $0,49x^2 + 1,4xy + y^2$ соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 0,49x^2$, значит $x = 0,7x$. $y^2 = y^2$, значит $y=y$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 0,7x \cdot y = 1,4xy$.
Следовательно, $0,49x^2 + 1,4xy + y^2 = (0,7x + y)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(0,7x + y)^2$.
Ответ: $-(0,7x + y)^2$.