Номер 835, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 835, страница 170.

Условие.

835. Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена:

а) $81a^2 - 18ab + b^2$;

б) $1 + y^2 - 2y$;

в) $8ab + b^2 + 16a^2$;

г) $100x^2 + y^2 + 20xy$;

д) $b^2 + 4a^2 - 4ab$;

е) $28xy + 49x^2 + 4y^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для преобразования трёхчлена $81a^2 - 18ab + b^2$ в квадрат двучлена, мы используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном выражении мы можем отождествить следующие члены:

• Квадрат первого члена: $x^2 = 81a^2$, что означает $x = \sqrt{81a^2} = 9a$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = b^2$, что означает $y = b$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член $-18ab$ удвоенному произведению $-2xy$ из формулы: $-2xy = -2 \cdot (9a) \cdot b = -18ab$.
Поскольку все члены совпадают с формулой, мы можем записать выражение в виде квадрата двучлена:
$81a^2 - 18ab + b^2 = (9a)^2 - 2(9a)(b) + b^2 = (9a-b)^2$.
Ответ: $(9a-b)^2$.

б) Рассмотрим трёхчлен $1 + y^2 - 2y$. Для удобства переставим члены в стандартном порядке: $y^2 - 2y + 1$.
Это выражение соответствует формуле квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим компоненты:

• $x^2 = y^2$, следовательно $x=y$.
• $y^2$ из формулы соответствует члену $1$, следовательно $y$ из формулы равен $1$.

Проверим средний член $-2y$: $-2xy = -2 \cdot y \cdot 1 = -2y$.
Все члены совпадают, поэтому:
$y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$.
Ответ: $(y-1)^2$.

в) Рассмотрим трёхчлен $8ab + b^2 + 16a^2$. Переставим члены для приведения к стандартному виду: $16a^2 + 8ab + b^2$.
Это выражение соответствует формуле квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Определим компоненты:

• $x^2 = 16a^2$, следовательно $x = 4a$.
• $y^2 = b^2$, следовательно $y = b$.

Проверим средний член $8ab$:
$2xy = 2 \cdot (4a) \cdot b = 8ab$.
Все члены совпадают, следовательно:
$16a^2 + 8ab + b^2 = (4a+b)^2$.
Ответ: $(4a+b)^2$.

г) Рассмотрим трёхчлен $100x^2 + y^2 + 20xy$. Переставим члены: $100x^2 + 20xy + y^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим компоненты:

• $A^2 = 100x^2$, следовательно $A = 10x$.
• $B^2 = y^2$, следовательно $B = y$.

Проверим средний член $20xy$:
$2AB = 2 \cdot (10x) \cdot y = 20xy$.
Все члены совпадают, поэтому:
$100x^2 + 20xy + y^2 = (10x+y)^2$.
Ответ: $(10x+y)^2$.

д) Рассмотрим трёхчлен $b^2 + 4a^2 - 4ab$. Переставим члены для удобства: $4a^2 - 4ab + b^2$.
Применим формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Определим компоненты:

• $A^2 = 4a^2$, следовательно $A = 2a$.
• $B^2 = b^2$, следовательно $B = b$.

Проверим средний член $-4ab$:
$-2AB = -2 \cdot (2a) \cdot b = -4ab$.
Все члены совпадают, следовательно:
$4a^2 - 4ab + b^2 = (2a-b)^2$.
Ответ: $(2a-b)^2$.

е) Рассмотрим трёхчлен $28xy + 49x^2 + 4y^2$. Переставим члены: $49x^2 + 28xy + 4y^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим компоненты:

• $A^2 = 49x^2$, следовательно $A = 7x$.
• $B^2 = 4y^2$, следовательно $B = 2y$.

Проверим средний член $28xy$:
$2AB = 2 \cdot (7x) \cdot (2y) = 28xy$.
Все члены совпадают, поэтому:
$49x^2 + 28xy + 4y^2 = (7x+2y)^2$.
Ответ: $(7x+2y)^2$.