Номер 831, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 831, страница 169.

Условие.

831. Разложите на множители многочлен $a^3 + 2a + a^2 + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для разложения многочлена $a^3 + 2a + a^2 + 2$ на множители используется метод группировки слагаемых.

1. Переставим члены многочлена для удобства группировки. Сгруппируем члены, содержащие куб и квадрат переменной, а также члены с первой степенью и свободный член:

$a^3 + a^2 + 2a + 2$

2. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(a^3 + a^2) + (2a + 2)$

3. Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе общим множителем является $a^2$, во второй — 2:

$a^2(a + 1) + 2(a + 1)$

4. Теперь мы видим, что оба получившихся слагаемых имеют общий множитель $(a + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(a + 1)(a^2 + 2)$

Множитель $(a^2 + 2)$ не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами, поскольку выражение $a^2$ всегда неотрицательно, а значит $a^2 + 2$ всегда больше нуля.

Ответ: $(a + 1)(a^2 + 2)$