Номер 825, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 825, страница 168.

Условие.

825. Докажите тождество Диофанта (III в.):

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства тождества Диофанта $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ необходимо показать, что его левая и правая части равны при любых значениях переменных $a$, $b$, $c$ и $d$. Для этого выполним алгебраические преобразования обеих частей.

Сначала преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки путем перемножения многочленов:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2 \cdot c^2 + a^2 \cdot d^2 + b^2 \cdot c^2 + b^2 \cdot d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Теперь преобразуем правую часть равенства. Она представляет собой сумму двух квадратов. Раскроем каждый квадрат, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

Первый член правой части:

$(ac + bd)^2 = (ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2$.

Второй член правой части:

$(ad - bc)^2 = (ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2 = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2$.

Далее сложим полученные выражения, чтобы получить преобразованную правую часть:

$(a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются:

$a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Сравнивая итоговое выражение для левой части ($a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$) и итоговое выражение для правой части ($a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$), мы видим, что они идентичны.

Поскольку обе части равенства приводятся к одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.