Номер 829, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 829, страница 169.

Условие.

829. Упростите выражение:

a) $(x + 3)^3 - (x - 3)^3;$

б) $(a - 2b)^3 + 6ab(a - 2b).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $(x+3)^3 - (x-3)^3$ воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Сначала раскроем каждую скобку отдельно.

Для первого слагаемого, где $a=x$ и $b=3$:

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.

Для второго слагаемого, где $a=x$ и $b=3$:

$(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) = $

$= x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 9x^2 - 27x + 27$

Приведем подобные члены:

$(x^3 - x^3) + (9x^2 + 9x^2) + (27x - 27x) + (27 + 27) = 18x^2 + 54$.

Ответ: $18x^2 + 54$.

б) Чтобы упростить выражение $(a - 2b)^3 + 6ab(a - 2b)$, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Сначала раскроем куб разности $(a - 2b)^3$, используя формулу $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. В нашем случае $x=a$ и $y=2b$:

$(a - 2b)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 - (2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 3a(4b^2) - 8b^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$.

Теперь раскроем вторую часть выражения:

$6ab(a - 2b) = 6ab \cdot a - 6ab \cdot 2b = 6a^2b - 12ab^2$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3) + (6a^2b - 12ab^2)$

Приведем подобные члены:

$a^3 + (-6a^2b + 6a^2b) + (12ab^2 - 12ab^2) - 8b^3 = a^3 + 0 + 0 - 8b^3 = a^3 - 8b^3$.

Ответ: $a^3 - 8b^3$.