Номер 834, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 834, страница 170.

Условие.

834. Представьте трёхчлен в виде произведения двух одинаковых множителей:

а) $4x^2 + 12x + 9;$

б) $25b^2 + 10b + 1;$

в) $9x^2 - 24xy + 16y^2;$

г) $\frac{1}{4}m^2 + 4n^2 - 2mn;$

д) $10xy + 0,25x^2 + 100y^2;$

е) $9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить трёхчлен $4x^2 + 12x + 9$ в виде произведения двух одинаковых множителей, мы воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном выражении первый член $4x^2$ является квадратом выражения $2x$, то есть $a = 2x$.
Третий член $9$ является квадратом числа $3$, то есть $b = 3$.
Проверим, равен ли средний член $12x$ удвоенному произведению $2ab$:
$2ab = 2 \cdot (2x) \cdot 3 = 12x$.
Поскольку это соответствует среднему члену нашего трёхчлена, мы можем записать его в виде квадрата суммы:
$4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 = (2x+3)(2x+3)$.
Ответ: $(2x+3)(2x+3)$.

б) Для трёхчлена $25b^2 + 10b + 1$ применим ту же формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = 25b^2$, значит $a = 5b$.
$b^2 = 1$, значит $b = 1$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (5b) \cdot 1 = 10b$.
Условие выполняется. Следовательно, выражение можно представить в виде:
$25b^2 + 10b + 1 = (5b + 1)^2 = (5b+1)(5b+1)$.
Ответ: $(5b+1)(5b+1)$.

в) Для трёхчлена $9x^2 - 24xy + 16y^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В этом выражении $a^2 = 9x^2$, что даёт $a = 3x$.
$b^2 = 16y^2$, что даёт $b = 4y$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $2ab = 2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 24xy$.
Средний член в выражении равен $-24xy$, что соответствует формуле.
Таким образом, мы можем записать:
$9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x - 4y)^2 = (3x-4y)(3x-4y)$.
Ответ: $(3x-4y)(3x-4y)$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{1}{4}m^2 + 4n^2 - 2mn$. Для удобства переставим члены: $\frac{1}{4}m^2 - 2mn + 4n^2$.
Применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = \frac{1}{4}m^2$, значит $a = \frac{1}{2}m$.
$b^2 = 4n^2$, значит $b = 2n$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (\frac{1}{2}m) \cdot (2n) = 2mn$.
Так как средний член в выражении равен $-2mn$, формула применима.
$\frac{1}{4}m^2 - 2mn + 4n^2 = (\frac{1}{2}m - 2n)^2 = (\frac{1}{2}m - 2n)(\frac{1}{2}m - 2n)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}m - 2n)(\frac{1}{2}m - 2n)$.

д) Рассмотрим выражение $10xy + 0,25x^2 + 100y^2$. Переставим члены для соответствия стандартному виду формулы: $0,25x^2 + 10xy + 100y^2$.
Это похоже на квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = 0,25x^2$, следовательно, $a = 0,5x$.
$b^2 = 100y^2$, следовательно, $b = 10y$.
Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot (0,5x) \cdot (10y) = 1x \cdot 10y = 10xy$.
Это соответствует среднему члену. Таким образом:
$0,25x^2 + 10xy + 100y^2 = (0,5x + 10y)^2 = (0,5x+10y)(0,5x+10y)$.
Ответ: $(0,5x+10y)(0,5x+10y)$.

е) Для трёхчлена $9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2$ применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем выражении первый член $x^2 = 9a^2$, значит $x = 3a$.
Третий член $y^2 = \frac{1}{36}b^2$, значит $y = \frac{1}{6}b$.
Проверим, соответствует ли средний член $-ab$ удвоенному произведению $-2xy$:
$2xy = 2 \cdot (3a) \cdot (\frac{1}{6}b) = 6a \cdot \frac{1}{6}b = ab$.
Так как средний член имеет знак минус, формула верна.
Следовательно, $9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2 = (3a - \frac{1}{6}b)^2 = (3a - \frac{1}{6}b)(3a - \frac{1}{6}b)$.
Ответ: $(3a - \frac{1}{6}b)(3a - \frac{1}{6}b)$.