Страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

835. Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена:

а) $81a^2 - 18ab + b^2$;

б) $1 + y^2 - 2y$;

в) $8ab + b^2 + 16a^2$;

г) $100x^2 + y^2 + 20xy$;

д) $b^2 + 4a^2 - 4ab$;

е) $28xy + 49x^2 + 4y^2$.

а) Для преобразования трёхчлена $81a^2 - 18ab + b^2$ в квадрат двучлена, мы используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном выражении мы можем отождествить следующие члены:

• Квадрат первого члена: $x^2 = 81a^2$, что означает $x = \sqrt{81a^2} = 9a$.
• Квадрат второго члена: $y^2 = b^2$, что означает $y = b$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член $-18ab$ удвоенному произведению $-2xy$ из формулы: $-2xy = -2 \cdot (9a) \cdot b = -18ab$.
Поскольку все члены совпадают с формулой, мы можем записать выражение в виде квадрата двучлена:
$81a^2 - 18ab + b^2 = (9a)^2 - 2(9a)(b) + b^2 = (9a-b)^2$.
Ответ: $(9a-b)^2$.

б) Рассмотрим трёхчлен $1 + y^2 - 2y$. Для удобства переставим члены в стандартном порядке: $y^2 - 2y + 1$.
Это выражение соответствует формуле квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим компоненты:

• $x^2 = y^2$, следовательно $x=y$.
• $y^2$ из формулы соответствует члену $1$, следовательно $y$ из формулы равен $1$.

Проверим средний член $-2y$: $-2xy = -2 \cdot y \cdot 1 = -2y$.
Все члены совпадают, поэтому:
$y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$.
Ответ: $(y-1)^2$.

в) Рассмотрим трёхчлен $8ab + b^2 + 16a^2$. Переставим члены для приведения к стандартному виду: $16a^2 + 8ab + b^2$.
Это выражение соответствует формуле квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Определим компоненты:

• $x^2 = 16a^2$, следовательно $x = 4a$.
• $y^2 = b^2$, следовательно $y = b$.

Проверим средний член $8ab$:
$2xy = 2 \cdot (4a) \cdot b = 8ab$.
Все члены совпадают, следовательно:
$16a^2 + 8ab + b^2 = (4a+b)^2$.
Ответ: $(4a+b)^2$.

г) Рассмотрим трёхчлен $100x^2 + y^2 + 20xy$. Переставим члены: $100x^2 + 20xy + y^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим компоненты:

• $A^2 = 100x^2$, следовательно $A = 10x$.
• $B^2 = y^2$, следовательно $B = y$.

Проверим средний член $20xy$:
$2AB = 2 \cdot (10x) \cdot y = 20xy$.
Все члены совпадают, поэтому:
$100x^2 + 20xy + y^2 = (10x+y)^2$.
Ответ: $(10x+y)^2$.

д) Рассмотрим трёхчлен $b^2 + 4a^2 - 4ab$. Переставим члены для удобства: $4a^2 - 4ab + b^2$.
Применим формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Определим компоненты:

• $A^2 = 4a^2$, следовательно $A = 2a$.
• $B^2 = b^2$, следовательно $B = b$.

Проверим средний член $-4ab$:
$-2AB = -2 \cdot (2a) \cdot b = -4ab$.
Все члены совпадают, следовательно:
$4a^2 - 4ab + b^2 = (2a-b)^2$.
Ответ: $(2a-b)^2$.

е) Рассмотрим трёхчлен $28xy + 49x^2 + 4y^2$. Переставим члены: $49x^2 + 28xy + 4y^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим компоненты:

• $A^2 = 49x^2$, следовательно $A = 7x$.
• $B^2 = 4y^2$, следовательно $B = 2y$.

Проверим средний член $28xy$:
$2AB = 2 \cdot (7x) \cdot (2y) = 28xy$.
Все члены совпадают, поэтому:
$49x^2 + 28xy + 4y^2 = (7x+2y)^2$.
Ответ: $(7x+2y)^2$.

838. Замените знак * таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) $b^2 + 20b + *$

б) $* + 14b + 49$

в) $16x^2 + 24xy + *$

г) $* - 42pq + 49q^2$

Для того чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, необходимо воспользоваться формулами сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

В каждом из выражений мы определим, чему равны члены $a$ и $c$ из формулы, чтобы найти недостающий одночлен, обозначенный знаком $*$.

а) $b^2 + 20b + *$

Данное выражение соответствует формуле квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.

Сравнивая с формулой, определим члены:Первый член $a^2$ соответствует $b^2$, следовательно, $a=b$.Удвоенное произведение $2ac$ соответствует $20b$. Подставив $a=b$, получим $2bc = 20b$. Отсюда находим $c = \frac{20b}{2b} = 10$.

Искомый одночлен, заменяющий знак $*$, равен $c^2$.

$* = c^2 = 10^2 = 100$.

В результате получаем выражение $b^2 + 20b + 100$, которое равно $(b+10)^2$.

Ответ: $100$.

б) $* + 14b + 49$

Это выражение также соответствует формуле квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.

Сравнивая с формулой, определим члены:Третий член $c^2$ соответствует $49$, следовательно, $c = \sqrt{49} = 7$.Удвоенное произведение $2ac$ соответствует $14b$. Подставив $c=7$, получим $2a \cdot 7 = 14b$, или $14a = 14b$. Отсюда находим $a = b$.

Искомый одночлен, заменяющий знак $*$, равен $a^2$.

$* = a^2 = b^2$.

В результате получаем выражение $b^2 + 14b + 49$, которое равно $(b+7)^2$.

Ответ: $b^2$.

в) $16x^2 + 24xy + *$

Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.

Сравнивая с формулой, определим члены:Первый член $a^2$ соответствует $16x^2$, следовательно, $a = \sqrt{16x^2} = 4x$.Удвоенное произведение $2ac$ соответствует $24xy$. Подставив $a=4x$, получим $2 \cdot (4x) \cdot c = 24xy$, или $8xc = 24xy$. Отсюда находим $c = \frac{24xy}{8x} = 3y$.

Искомый одночлен, заменяющий знак $*$, равен $c^2$.

$* = c^2 = (3y)^2 = 9y^2$.

В результате получаем выражение $16x^2 + 24xy + 9y^2$, которое равно $(4x+3y)^2$.

Ответ: $9y^2$.

г) $* - 42pq + 49q^2$

Так как средний член имеет знак "минус", это выражение соответствует формуле квадрата разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.

Сравнивая с формулой, определим члены:Третий член $c^2$ соответствует $49q^2$, следовательно, $c = \sqrt{49q^2} = 7q$.Удвоенное произведение $2ac$ соответствует $42pq$. Подставив $c=7q$, получим $2a \cdot (7q) = 42pq$, или $14aq = 42pq$. Отсюда находим $a = \frac{42pq}{14q} = 3p$.

Искомый одночлен, заменяющий знак $*$, равен $a^2$.

$* = a^2 = (3p)^2 = 9p^2$.

В результате получаем выражение $9p^2 - 42pq + 49q^2$, которое равно $(3p-7q)^2$.

Ответ: $9p^2$.

833. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

а) $x^2 + 2xy + y^2;$

б) $p^2 - 2pq + q^2;$

в) $a^2 + 12a + 36;$

г) $64 + 16b + b^2;$

д) $1 - 2z + z^2;$

е) $n^2 + 4n + 4.$

а) Чтобы представить трёхчлен $x^2 + 2xy + y^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном выражении мы можем отождествить $a$ с $x$ и $b$ с $y$. Первый член $x^2$ является квадратом $x$, последний член $y^2$ — квадратом $y$, а средний член $2xy$ — их удвоенным произведением. Следовательно, данный трёхчлен является полным квадратом и равен $(x+y)^2$. Ответ: $(x+y)^2$

б) Трёхчлен $p^2 - 2pq + q^2$ соответствует формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В этом случае $a=p$ и $b=q$. Первый член $p^2$ — это квадрат $p$, последний член $q^2$ — это квадрат $q$, а средний член $-2pq$ — это их удвоенное произведение со знаком минус. Таким образом, выражение можно представить в виде квадрата $(p-q)$. Ответ: $(p-q)^2$

в) Рассмотрим трёхчлен $a^2 + 12a + 36$. Чтобы представить его в виде квадрата, ищем два члена, квадраты которых дадут $a^2$ и $36$. Это $a$ и $6$. Теперь проверяем, будет ли средний член равен их удвоенному произведению: $2 \cdot a \cdot 6 = 12a$. Так как это совпадает со средним членом исходного выражения, мы можем применить формулу квадрата суммы. Ответ: $(a+6)^2$

г) В выражении $64 + 16b + b^2$ мы видим квадраты двух чисел: $64 = 8^2$ и $b^2$. Проверим, является ли средний член $16b$ их удвоенным произведением: $2 \cdot 8 \cdot b = 16b$. Это верно. Значит, трёхчлен является квадратом суммы, составленной из $8$ и $b$. Ответ: $(8+b)^2$

д) В трёхчлене $1 - 2z + z^2$ первый член $1$ является квадратом $1$, а последний член $z^2$ — квадратом $z$. Средний член имеет знак минус, поэтому мы используем формулу квадрата разности. Проверяем удвоенное произведение: $2 \cdot 1 \cdot z = 2z$. Со знаком минус это даёт $-2z$, что совпадает со средним членом. Следовательно, это квадрат разности $(1-z)$. Ответ: $(1-z)^2$

е) Рассмотрим трёхчлен $n^2 + 4n + 4$. Первый член $n^2$ — это квадрат $n$, а последний член $4$ — это квадрат $2$. Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению $n$ и $2$. Вычисляем: $2 \cdot n \cdot 2 = 4n$. Это совпадает со средним членом исходного выражения, значит, мы можем применить формулу квадрата суммы. Ответ: $(n+2)^2$

836. Поставьте вместо знака * такой одночлен, чтобы трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) $* + 56a + 49;$

б) $36 - 12x + *;$

в) $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2;$

г) $0,01b^2 + * + 100c^2.$

а) Чтобы трёхчлен $* + 56a + 49$ можно было представить в виде квадрата двучлена, он должен соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В нашем выражении один из членов является квадратом числа: $49 = 7^2$. Пусть это будет $B^2$, тогда $B=7$.

Средний член выражения — это удвоенное произведение первого и второго членов двучлена: $2AB = 56a$.

Подставим известное значение $B=7$ в это уравнение: $2 \cdot A \cdot 7 = 56a$.

Отсюда $14A = 56a$, и мы находим $A = \frac{56a}{14} = 4a$.

Искомый одночлен, обозначенный знаком $*$, должен быть квадратом первого члена, то есть $A^2$.

Вычисляем $A^2 = (4a)^2 = 16a^2$.

Таким образом, трёхчлен имеет вид $16a^2 + 56a + 49$, что является квадратом двучлена $(4a+7)^2$.

Ответ: $16a^2$.

б) Рассмотрим трёхчлен $36 - 12x + *$. Он должен соответствовать формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Первый член выражения является квадратом числа: $36 = 6^2$. Пусть это будет $A^2$, тогда $A=6$.

Средний член выражения — это удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2AB = -12x$.

Подставим известное значение $A=6$ в это уравнение: $-2 \cdot 6 \cdot B = -12x$.

Отсюда $-12B = -12x$, и мы находим $B = x$.

Искомый одночлен, обозначенный знаком $*$, должен быть квадратом второго члена, то есть $B^2$.

Вычисляем $B^2 = x^2$.

Таким образом, трёхчлен имеет вид $36 - 12x + x^2$, что является квадратом двучлена $(6-x)^2$.

Ответ: $x^2$.

в) Рассмотрим трёхчлен $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2$. Он должен соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ или квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Определим члены $A$ и $B$. Первый член: $A^2 = 25a^2 = (5a)^2$, значит $A=5a$.

Третий член: $B^2 = \frac{1}{4}b^2 = (\frac{1}{2}b)^2$, значит $B=\frac{1}{2}b$.

Искомый одночлен, обозначенный знаком $*$, должен быть удвоенным произведением $A$ и $B$, то есть $2AB$ (или $-2AB$).

Вычисляем $2AB = 2 \cdot (5a) \cdot (\frac{1}{2}b) = 5ab$.

Если мы подставим $5ab$, то получим $25a^2 + 5ab + \frac{1}{4}b^2 = (5a + \frac{1}{2}b)^2$.

Если бы мы подставили $-5ab$, то получили бы $25a^2 - 5ab + \frac{1}{4}b^2 = (5a - \frac{1}{2}b)^2$. Оба варианта корректны. Выберем положительный.

Ответ: $5ab$.

г) Рассмотрим трёхчлен $0,01b^2 + * + 100c^2$. Он должен соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ или квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Определим члены $A$ и $B$. Первый член: $A^2 = 0,01b^2 = (0,1b)^2$, значит $A=0,1b$.

Третий член: $B^2 = 100c^2 = (10c)^2$, значит $B=10c$.

Искомый одночлен, обозначенный знаком $*$, должен быть удвоенным произведением $A$ и $B$, то есть $2AB$ (или $-2AB$).

Вычисляем $2AB = 2 \cdot (0,1b) \cdot (10c) = 2bc$.

Если мы подставим $2bc$, то получим $0,01b^2 + 2bc + 100c^2 = (0,1b + 10c)^2$.

Если бы мы подставили $-2bc$, то получили бы $0,01b^2 - 2bc + 100c^2 = (0,1b - 10c)^2$. Оба варианта корректны. Выберем положительный.

Ответ: $2bc$.

839. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) $-1 + 4a - 4a^2;$

б) $-42a + 9a^2 + 49;$

в) $24ab - 16a^2 - 9b^2;$

г) $-44ax + 121a^2 + 4x^2;$

д) $4cd - 25c^2 - 0,16d^2;$

е) $-0,49x^2 - 1,4xy - y^2.$

а) Чтобы представить трехчлен $-1 + 4a - 4a^2$ в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, вынесем за скобки $-1$:
$-1 + 4a - 4a^2 = -(1 - 4a + 4a^2)$.
Переставим слагаемые в скобках для удобства: $-(4a^2 - 4a + 1)$.
Выражение в скобках $4a^2 - 4a + 1$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x^2 = 4a^2$, значит $x = 2a$. $y^2 = 1$, значит $y=1$. Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 2a \cdot 1 = 4a$.
Следовательно, $4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(2a - 1)^2$.
Ответ: $-(2a - 1)^2$.

б) Переставим слагаемые в трехчлене $-42a + 9a^2 + 49$, чтобы привести его к стандартному виду:
$9a^2 - 42a + 49$.
Это выражение соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 9a^2$, значит $x = 3a$. $y^2 = 49$, значит $y=7$.
Проверим средний член, который должен быть удвоенным произведением: $2xy = 2 \cdot 3a \cdot 7 = 42a$.
Значит, выражение $9a^2 - 42a + 49$ является полным квадратом разности $(3a - 7)^2$.
Ответ: $(3a - 7)^2$.

в) В трехчлене $24ab - 16a^2 - 9b^2$ члены с квадратами переменных ($16a^2$ и $9b^2$) имеют отрицательные знаки. Это указывает на то, что нужно вынести $-1$ за скобки:
$24ab - 16a^2 - 9b^2 = -( -24ab + 16a^2 + 9b^2)$.
Переставим слагаемые в скобках: $-(16a^2 - 24ab + 9b^2)$.
Выражение в скобках $16a^2 - 24ab + 9b^2$ является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 16a^2$, значит $x = 4a$. $y^2 = 9b^2$, значит $y=3b$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 4a \cdot 3b = 24ab$.
Следовательно, $16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a - 3b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(4a - 3b)^2$.
Ответ: $-(4a - 3b)^2$.

г) Переставим слагаемые в трехчлене $-44ax + 121a^2 + 4x^2$, чтобы получить стандартный вид:
$121a^2 - 44ax + 4x^2$.
Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 121a^2$, значит $x = 11a$. $y^2 = 4x^2$, значит $y=2x$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 11a \cdot 2x = 44ax$.
Следовательно, выражение $121a^2 - 44ax + 4x^2$ является полным квадратом разности $(11a - 2x)^2$.
Ответ: $(11a - 2x)^2$.

д) В трехчлене $4cd - 25c^2 - 0,16d^2$ члены с квадратами переменных ($25c^2$ и $0,16d^2$) имеют отрицательные знаки. Вынесем $-1$ за скобки:
$4cd - 25c^2 - 0,16d^2 = -(-4cd + 25c^2 + 0,16d^2)$.
Переставим слагаемые в скобках: $-(25c^2 - 4cd + 0,16d^2)$.
Выражение в скобках $25c^2 - 4cd + 0,16d^2$ соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 25c^2$, значит $x = 5c$. $y^2 = 0,16d^2$, значит $y=0,4d$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 5c \cdot 0,4d = 4cd$.
Следовательно, $25c^2 - 4cd + 0,16d^2 = (5c - 0,4d)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(5c - 0,4d)^2$.
Ответ: $-(5c - 0,4d)^2$.

е) В трехчлене $-0,49x^2 - 1,4xy - y^2$ все члены отрицательны. Вынесем $-1$ за скобки:
$-0,49x^2 - 1,4xy - y^2 = -(0,49x^2 + 1,4xy + y^2)$.
Выражение в скобках $0,49x^2 + 1,4xy + y^2$ соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 0,49x^2$, значит $x = 0,7x$. $y^2 = y^2$, значит $y=y$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot 0,7x \cdot y = 1,4xy$.
Следовательно, $0,49x^2 + 1,4xy + y^2 = (0,7x + y)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(0,7x + y)^2$.
Ответ: $-(0,7x + y)^2$.

834. Представьте трёхчлен в виде произведения двух одинаковых множителей:

а) $4x^2 + 12x + 9;$

б) $25b^2 + 10b + 1;$

в) $9x^2 - 24xy + 16y^2;$

г) $\frac{1}{4}m^2 + 4n^2 - 2mn;$

д) $10xy + 0,25x^2 + 100y^2;$

е) $9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2.$

а) Чтобы представить трёхчлен $4x^2 + 12x + 9$ в виде произведения двух одинаковых множителей, мы воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном выражении первый член $4x^2$ является квадратом выражения $2x$, то есть $a = 2x$.
Третий член $9$ является квадратом числа $3$, то есть $b = 3$.
Проверим, равен ли средний член $12x$ удвоенному произведению $2ab$:
$2ab = 2 \cdot (2x) \cdot 3 = 12x$.
Поскольку это соответствует среднему члену нашего трёхчлена, мы можем записать его в виде квадрата суммы:
$4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 = (2x+3)(2x+3)$.
Ответ: $(2x+3)(2x+3)$.

б) Для трёхчлена $25b^2 + 10b + 1$ применим ту же формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = 25b^2$, значит $a = 5b$.
$b^2 = 1$, значит $b = 1$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (5b) \cdot 1 = 10b$.
Условие выполняется. Следовательно, выражение можно представить в виде:
$25b^2 + 10b + 1 = (5b + 1)^2 = (5b+1)(5b+1)$.
Ответ: $(5b+1)(5b+1)$.

в) Для трёхчлена $9x^2 - 24xy + 16y^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В этом выражении $a^2 = 9x^2$, что даёт $a = 3x$.
$b^2 = 16y^2$, что даёт $b = 4y$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $2ab = 2 \cdot (3x) \cdot (4y) = 24xy$.
Средний член в выражении равен $-24xy$, что соответствует формуле.
Таким образом, мы можем записать:
$9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x - 4y)^2 = (3x-4y)(3x-4y)$.
Ответ: $(3x-4y)(3x-4y)$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{1}{4}m^2 + 4n^2 - 2mn$. Для удобства переставим члены: $\frac{1}{4}m^2 - 2mn + 4n^2$.
Применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = \frac{1}{4}m^2$, значит $a = \frac{1}{2}m$.
$b^2 = 4n^2$, значит $b = 2n$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (\frac{1}{2}m) \cdot (2n) = 2mn$.
Так как средний член в выражении равен $-2mn$, формула применима.
$\frac{1}{4}m^2 - 2mn + 4n^2 = (\frac{1}{2}m - 2n)^2 = (\frac{1}{2}m - 2n)(\frac{1}{2}m - 2n)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}m - 2n)(\frac{1}{2}m - 2n)$.

д) Рассмотрим выражение $10xy + 0,25x^2 + 100y^2$. Переставим члены для соответствия стандартному виду формулы: $0,25x^2 + 10xy + 100y^2$.
Это похоже на квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = 0,25x^2$, следовательно, $a = 0,5x$.
$b^2 = 100y^2$, следовательно, $b = 10y$.
Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot (0,5x) \cdot (10y) = 1x \cdot 10y = 10xy$.
Это соответствует среднему члену. Таким образом:
$0,25x^2 + 10xy + 100y^2 = (0,5x + 10y)^2 = (0,5x+10y)(0,5x+10y)$.
Ответ: $(0,5x+10y)(0,5x+10y)$.

е) Для трёхчлена $9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2$ применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем выражении первый член $x^2 = 9a^2$, значит $x = 3a$.
Третий член $y^2 = \frac{1}{36}b^2$, значит $y = \frac{1}{6}b$.
Проверим, соответствует ли средний член $-ab$ удвоенному произведению $-2xy$:
$2xy = 2 \cdot (3a) \cdot (\frac{1}{6}b) = 6a \cdot \frac{1}{6}b = ab$.
Так как средний член имеет знак минус, формула верна.
Следовательно, $9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2 = (3a - \frac{1}{6}b)^2 = (3a - \frac{1}{6}b)(3a - \frac{1}{6}b)$.
Ответ: $(3a - \frac{1}{6}b)(3a - \frac{1}{6}b)$.

837. Впишите вместо знака * недостающие одночлены так, чтобы получилось тождество:

a) $ (* + 2a)^2 = * + 12ab + * $;

б) $ (3x + *)^2 = * + * + 49y^2 $.

а)

Дано тождество: $(* + 2a)^2 = * + 12ab + *$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В левой части нашего тождества второй член в скобках равен $2a$. Обозначим его как $y=2a$. Первый член, обозначенный звездочкой, примем за $x$. Тогда удвоенное произведение первого и второго членов, согласно формуле, будет равно $2xy = 2 \cdot x \cdot 2a = 4ax$.

В правой части тождества средний член (удвоенное произведение) нам известен, он равен $12ab$. Приравняем его к полученному нами выражению для удвоенного произведения, чтобы найти неизвестный член $x$:

$4ax = 12ab$

Разделив обе части уравнения на $4a$ (при условии, что $a \neq 0$), получим:

$x = \frac{12ab}{4a} = 3b$

Таким образом, первая звездочка в скобках соответствует одночлену $3b$.

Теперь мы можем полностью восстановить левую часть тождества: $(3b + 2a)^2$.

Чтобы найти недостающие члены в правой части, раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(3b + 2a)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot (3b) \cdot (2a) + (2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2$.

Сравнивая полученный результат с правой частью исходного выражения $* + 12ab + *$, находим недостающие одночлены:

• Первая звездочка в правой части — это квадрат первого члена: $(3b)^2 = 9b^2$.
• Последняя звездочка в правой части — это квадрат второго члена: $(2a)^2 = 4a^2$.

Полное тождество выглядит следующим образом:

$(3b + 2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2$.

Ответ: $(3b + 2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2$.

б)

Дано тождество: $(3x + *)^2 = * + * + 49y^2$.

Здесь мы также применяем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В левой части нашего тождества известен первый член в скобках, $a = 3x$. Второй член, обозначенный звездочкой, нам неизвестен, примем его за $b$.

В правой части тождества известен последний член, который, согласно формуле, является квадратом второго члена из скобок, то есть $b^2$.

Следовательно, $b^2 = 49y^2$.

Чтобы найти одночлен $b$, извлечем квадратный корень из $49y^2$:

$b = \sqrt{49y^2} = 7y$

Итак, недостающий член в скобках — это $7y$. Левая часть тождества теперь имеет вид: $(3x + 7y)^2$.

Теперь раскроем скобки, чтобы определить недостающие одночлены в правой части:

$(3x + 7y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (7y) + (7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$.

Сравнивая полученное выражение с правой частью исходного тождества $* + * + 49y^2$, находим недостающие одночлены:

• Первая звездочка в правой части — это квадрат первого члена: $(3x)^2 = 9x^2$.
• Вторая звездочка в правой части — это удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 3x \cdot 7y = 42xy$.

Полное тождество выглядит следующим образом:

$(3x + 7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$.

Ответ: $(3x + 7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$.