Страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

817. Упростите выражение:

а) $(x - 3)^2 + x(x + 9)$;

б) $(2a + 5)^2 - 5(4a + 5)$;

в) $9b(b - 1) - (3b + 2)^2$;

г) $(b - 4)^2 + (b - 1)(2 - b)$;

д) $(a + 3)(5 - a) - (a - 1)^2$;

е) $(5 + 2y)(y - 3) - (5 - 2y)^2$.

а) Для упрощения выражения $(x - 3)^2 + x(x + 9)$ раскроем скобки. Первое слагаемое раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$. Второе слагаемое $x(x+9)$ раскроем по распределительному закону: $x(x+9) = x^2+9x$. Теперь сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые: $(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 9x) = x^2 - 6x + 9 + x^2 + 9x = (x^2+x^2) + (-6x+9x) + 9 = 2x^2 + 3x + 9$.
Ответ: $2x^2 + 3x + 9$

б) Для упрощения выражения $(2a + 5)^2 - 5(4a + 5)$ раскроем скобки. Уменьшаемое раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $(2a+5)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 + 20a + 25$. Вычитаемое $-5(4a+5)$ раскроем по распределительному закону: $-5(4a+5) = -20a-25$. Выполним преобразование: $4a^2 + 20a + 25 - 20a - 25 = 4a^2 + (20a-20a) + (25-25) = 4a^2$.
Ответ: $4a^2$

в) Для упрощения выражения $9b(b - 1) - (3b + 2)^2$ раскроем скобки. Уменьшаемое $9b(b-1)$ раскроем по распределительному закону: $9b(b-1) = 9b^2 - 9b$. Вычитаемое $(3b+2)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $(3b+2)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 2 + 2^2 = 9b^2 + 12b + 4$. Теперь выполним вычитание и приведем подобные слагаемые: $(9b^2 - 9b) - (9b^2 + 12b + 4) = 9b^2 - 9b - 9b^2 - 12b - 4 = (9b^2-9b^2) + (-9b-12b) - 4 = -21b - 4$.
Ответ: $-21b - 4$

г) Для упрощения выражения $(b - 4)^2 + (b - 1)(2 - b)$ раскроем скобки. Первое слагаемое раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(b-4)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = b^2 - 8b + 16$. Второе слагаемое $(b-1)(2-b)$ является произведением многочленов: $(b-1)(2-b) = b \cdot 2 + b \cdot (-b) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-b) = 2b - b^2 - 2 + b = -b^2 + 3b - 2$. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые: $(b^2 - 8b + 16) + (-b^2 + 3b - 2) = b^2 - 8b + 16 - b^2 + 3b - 2 = (b^2-b^2) + (-8b+3b) + (16-2) = -5b + 14$.
Ответ: $14 - 5b$

д) Для упрощения выражения $(a + 3)(5 - a) - (a - 1)^2$ раскроем скобки. Уменьшаемое $(a+3)(5-a)$ является произведением многочленов: $(a+3)(5-a) = a \cdot 5 + a \cdot (-a) + 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-a) = 5a - a^2 + 15 - 3a = -a^2 + 2a + 15$. Вычитаемое $(a-1)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$. Выполним вычитание и приведем подобные слагаемые: $(-a^2 + 2a + 15) - (a^2 - 2a + 1) = -a^2 + 2a + 15 - a^2 + 2a - 1 = (-a^2-a^2) + (2a+2a) + (15-1) = -2a^2 + 4a + 14$.
Ответ: $-2a^2 + 4a + 14$

е) Для упрощения выражения $(5 + 2y)(y - 3) - (5 - 2y)^2$ раскроем скобки. Уменьшаемое $(5+2y)(y-3)$ является произведением многочленов: $(5+2y)(y-3) = 5 \cdot y + 5 \cdot (-3) + 2y \cdot y + 2y \cdot (-3) = 5y - 15 + 2y^2 - 6y = 2y^2 - y - 15$. Вычитаемое $(5-2y)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(5-2y)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2y + (2y)^2 = 25 - 20y + 4y^2$. Выполним вычитание и приведем подобные слагаемые: $(2y^2 - y - 15) - (25 - 20y + 4y^2) = 2y^2 - y - 15 - 25 + 20y - 4y^2 = (2y^2-4y^2) + (-y+20y) + (-15-25) = -2y^2 + 19y - 40$.
Ответ: $-2y^2 + 19y - 40$

820. Найдите корень уравнения:

а) $(x - 5)^2 - x^2 = 3;$

б) $(2y + 1)^2 - 4y^2 = 5;$

в) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0;$

г) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2).$

а) $(x - 5)^2 - x^2 = 3$
Для решения уравнения раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к выражению $(x - 5)^2$.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - x^2 = 3$
$x^2 - 10x + 25 - x^2 = 3$
Приведем подобные слагаемые. $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются:
$-10x + 25 = 3$
Перенесем свободный член 25 из левой части в правую с противоположным знаком:
$-10x = 3 - 25$
$-10x = -22$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -10:
$x = \frac{-22}{-10}$
$x = 2,2$
Ответ: 2,2.

б) $(2y + 1)^2 - 4y^2 = 5$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для выражения $(2y + 1)^2$.
$((2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1^2) - 4y^2 = 5$
$4y^2 + 4y + 1 - 4y^2 = 5$
Сократим $4y^2$ и $-4y^2$ в левой части:
$4y + 1 = 5$
Перенесем 1 в правую часть уравнения:
$4y = 5 - 1$
$4y = 4$
Разделим обе части на 4:
$y = \frac{4}{4}$
$y = 1$
Ответ: 1.

в) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0$
Раскроем скобки $(3x - 2)^2$, используя формулу квадрата разности.
$9x^2 - 1 - ( (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 ) = 0$
$9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0$
Теперь раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:
$9x^2 - 1 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$
Приведем подобные слагаемые. $9x^2$ и $-9x^2$ сокращаются, а $-1$ и $-4$ дают в сумме $-5$.
$12x - 5 = 0$
Перенесем -5 в правую часть:
$12x = 5$
Найдем $x$:
$x = \frac{5}{12}$
Ответ: $\frac{5}{12}$.

г) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы, в правой — распределительный закон умножения.
$x + ((5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2) = 25 \cdot 1 + 25 \cdot x^2$
$x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2$
Приведем подобные слагаемые в левой части ($x + 20x = 21x$):
$25x^2 + 21x + 4 = 25 + 25x^2$
Перенесем все члены с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую. Член $25x^2$ есть в обеих частях, поэтому при переносе он сократится:
$21x = 25 - 4$
$21x = 21$
Разделим обе части на 21:
$x = \frac{21}{21}$
$x = 1$
Ответ: 1.

823. Представьте в виде многочлена:

а) $a(a + 9b)^2;$

б) $6x(x^2 + 5x)^2;$

в) $(a + 2)(a - 1)^2;$

г) $(x - 4)(x + 2)^2.$

а) Чтобы представить выражение $a(a + 9b)^2$ в виде многочлена, сначала необходимо раскрыть скобки, возведенные в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$(a + 9b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 9b + (9b)^2 = a^2 + 18ab + 81b^2$.
Затем, умножим полученный многочлен на одночлен $a$, который стоит перед скобками:
$a(a^2 + 18ab + 81b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 18ab + a \cdot 81b^2 = a^3 + 18a^2b + 81ab^2$.
Ответ: $a^3 + 18a^2b + 81ab^2$.

б) Для выражения $6x(x^2 + 5x)^2$ сначала раскроем квадрат суммы. В данном случае $x = x^2$, а $y = 5x$.
$(x^2 + 5x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5x + (5x)^2 = x^4 + 10x^3 + 25x^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на $6x$:
$6x(x^4 + 10x^3 + 25x^2) = 6x \cdot x^4 + 6x \cdot 10x^3 + 6x \cdot 25x^2 = 6x^5 + 60x^4 + 150x^3$.
Ответ: $6x^5 + 60x^4 + 150x^3$.

в) Чтобы представить выражение $(a + 2)(a - 1)^2$ в виде многочлена, сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
$(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$.
Далее, умножим многочлен $(a + 2)$ на полученный многочлен $(a^2 - 2a + 1)$, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(a + 2)(a^2 - 2a + 1) = a(a^2 - 2a + 1) + 2(a^2 - 2a + 1) = a^3 - 2a^2 + a + 2a^2 - 4a + 2$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-2a^2 + 2a^2) + (a - 4a) + 2 = a^3 - 3a + 2$.
Ответ: $a^3 - 3a + 2$.

г) Для выражения $(x - 4)(x + 2)^2$ сначала раскроем квадрат суммы:
$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.
Теперь умножим многочлен $(x - 4)$ на полученный многочлен $(x^2 + 4x + 4)$:
$(x - 4)(x^2 + 4x + 4) = x(x^2 + 4x + 4) - 4(x^2 + 4x + 4) = x^3 + 4x^2 + 4x - 4x^2 - 16x - 16$.
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:
$x^3 + (4x^2 - 4x^2) + (4x - 16x) - 16 = x^3 - 12x - 16$.
Ответ: $x^3 - 12x - 16$.

815. Упростите выражение:

а) $(12a-1)^2-1$;

б) $(2a+6b)^2-24ab$;

в) $121-(11-9x)^2$;

г) $a^2b^2-(ab-7)^2$;

д) $b^2+49-(b-7)^2$;

е) $a^4-81-(a^2+9)^2$.

а) Для упрощения выражения $(12a - 1)^2 - 1$ можно использовать формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В данном случае $x = 12a - 1$ и $y = 1$.
$(12a - 1)^2 - 1 = (12a - 1)^2 - 1^2 = ((12a - 1) - 1)((12a - 1) + 1) = (12a - 2)(12a) = 144a^2 - 24a$.
Также можно сначала раскрыть скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(12a - 1)^2 - 1 = ((12a)^2 - 2 \cdot 12a \cdot 1 + 1^2) - 1 = (144a^2 - 24a + 1) - 1 = 144a^2 - 24a$.
Ответ: $144a^2 - 24a$.

б) Упростим выражение $(2a + 6b)^2 - 24ab$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$(2a + 6b)^2 - 24ab = ((2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 6b + (6b)^2) - 24ab = (4a^2 + 24ab + 36b^2) - 24ab$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$4a^2 + 24ab - 24ab + 36b^2 = 4a^2 + 36b^2$.
Ответ: $4a^2 + 36b^2$.

в) Упростим выражение $121 - (11 - 9x)^2$. Заметим, что $121 = 11^2$. Выражение представляет собой разность квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 11$ и $y = 11 - 9x$.
$11^2 - (11 - 9x)^2 = (11 - (11 - 9x))(11 + (11 - 9x)) = (11 - 11 + 9x)(11 + 11 - 9x) = (9x)(22 - 9x) = 198x - 81x^2$.
Ответ: $198x - 81x^2$.

г) Упростим выражение $a^2b^2 - (ab - 7)^2$. Это разность квадратов, так как $a^2b^2 = (ab)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = ab$ и $y = ab - 7$.
$(ab)^2 - (ab - 7)^2 = (ab - (ab - 7))(ab + (ab - 7)) = (ab - ab + 7)(ab + ab - 7) = 7(2ab - 7) = 14ab - 49$.
Ответ: $14ab - 49$.

д) Упростим выражение $b^2 + 49 - (b - 7)^2$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$b^2 + 49 - (b^2 - 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2) = b^2 + 49 - (b^2 - 14b + 49)$.
Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:
$b^2 + 49 - b^2 + 14b - 49$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^2 - b^2) + 14b + (49 - 49) = 14b$.
Ответ: $14b$.

е) Упростим выражение $a^4 - 81 - (a^2 + 9)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$a^4 - 81 - ((a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 9 + 9^2) = a^4 - 81 - (a^4 + 18a^2 + 81)$.
Раскроем скобки, изменив знаки:
$a^4 - 81 - a^4 - 18a^2 - 81$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^4 - a^4) - 18a^2 - (81 + 81) = -18a^2 - 162$.
Ответ: $-18a^2 - 162$.

818. Упростите выражение и найдите его значение:

а) $(x - 10)^2 - x(x + 80)$ при $x = 0,97$;

б) $(2x + 9)^2 - x(4x + 31)$ при $x = -16,2$;

в) $(2x + 0,5)^2 - (2x - 0,5)^2$ при $x = -3,5$;

г) $(0,1x - 8)^2 + (0,1x + 8)^2$ при $x = -10$.

Сначала упростим выражение $(x - 10)^2 - x(x + 80)$. Для этого раскроем скобки. Первую скобку раскроем, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а вторую — применяя распределительное свойство.

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2) - (x \cdot x + x \cdot 80) = (x^2 - 20x + 100) - (x^2 + 80x) = x^2 - 20x + 100 - x^2 - 80x$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-20x - 80x) + 100 = -100x + 100$.

Подставим значение $x = 0,97$ в упрощенное выражение:

$-100 \cdot 0,97 + 100 = -97 + 100 = 3$.

Ответ: 3

Упростим выражение $(2x + 9)^2 - x(4x + 31)$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и распределительное свойство.

$((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 9 + 9^2) - (x \cdot 4x + x \cdot 31) = (4x^2 + 36x + 81) - (4x^2 + 31x) = 4x^2 + 36x + 81 - 4x^2 - 31x$.

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 4x^2) + (36x - 31x) + 81 = 5x + 81$.

Подставим значение $x = -16,2$ в упрощенное выражение:

$5 \cdot (-16,2) + 81 = -81 + 81 = 0$.

Ответ: 0

Упростим выражение $(2x + 0,5)^2 - (2x - 0,5)^2$. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 2x + 0,5$ и $b = 2x - 0,5$.

$((2x + 0,5) - (2x - 0,5)) \cdot ((2x + 0,5) + (2x - 0,5))$.

Раскроем внутренние скобки и упростим каждый множитель:

$(2x + 0,5 - 2x + 0,5) \cdot (2x + 0,5 + 2x - 0,5) = (1) \cdot (4x) = 4x$.

Подставим значение $x = -3,5$ в упрощенное выражение:

$4 \cdot (-3,5) = -14$.

Ответ: -14

Упростим выражение $(0,1x - 8)^2 + (0,1x + 8)^2$. Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы.

$((0,1x)^2 - 2 \cdot 0,1x \cdot 8 + 8^2) + ((0,1x)^2 + 2 \cdot 0,1x \cdot 8 + 8^2) = (0,01x^2 - 1,6x + 64) + (0,01x^2 + 1,6x + 64)$.

Приведем подобные слагаемые:

$(0,01x^2 + 0,01x^2) + (-1,6x + 1,6x) + (64 + 64) = 0,02x^2 + 128$.

Подставим значение $x = -10$ в упрощенное выражение:

$0,02 \cdot (-10)^2 + 128 = 0,02 \cdot 100 + 128 = 2 + 128 = 130$.

Ответ: 130

821. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $7(4a - 1)^2$;

б) $-3(5y - x)^2$;

в) $-10\left(\frac{1}{2}b + 2\right)^2$;

г) $3(a - 1)^2 + 8a$;

д) $9c^2 - 4 + 6(c - 2)^2$;

е) $10ab - 4(2a - b)^2 + 6b^2$.

а) $7(4a - 1)^2$

Для преобразования выражения сначала воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, чтобы раскрыть скобки:

$(4a - 1)^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2 = 16a^2 - 8a + 1$

Теперь умножим полученный многочлен на 7:

$7(16a^2 - 8a + 1) = 7 \cdot 16a^2 - 7 \cdot 8a + 7 \cdot 1 = 112a^2 - 56a + 7$

Ответ: $112a^2 - 56a + 7$

б) $-3(5y - x)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(5y - x)^2 = (5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot x + x^2 = 25y^2 - 10xy + x^2$

Далее умножим полученный результат на -3:

$-3(25y^2 - 10xy + x^2) = -3 \cdot 25y^2 - 3 \cdot (-10xy) - 3 \cdot x^2 = -75y^2 + 30xy - 3x^2$

Запишем многочлен в стандартном виде:

$-3x^2 + 30xy - 75y^2$

Ответ: $-3x^2 + 30xy - 75y^2$

в) $-10(\frac{1}{2}b + 2)^2$

Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(\frac{1}{2}b + 2)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}b \cdot 2 + 2^2 = \frac{1}{4}b^2 + 2b + 4$

Теперь умножим полученный многочлен на -10:

$-10(\frac{1}{4}b^2 + 2b + 4) = -10 \cdot \frac{1}{4}b^2 - 10 \cdot 2b - 10 \cdot 4 = -\frac{10}{4}b^2 - 20b - 40$

Сократим дробь в первом члене многочлена:

$-\frac{5}{2}b^2 - 20b - 40$

Ответ: $-\frac{5}{2}b^2 - 20b - 40$

г) $3(a - 1)^2 + 8a$

Сначала раскроем скобки, возведя в квадрат двучлен $(a-1)$:

$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$

Подставим результат в исходное выражение:

$3(a^2 - 2a + 1) + 8a$

Теперь раскроем скобки, умножив многочлен на 3:

$3a^2 - 6a + 3 + 8a$

Приведем подобные слагаемые:

$3a^2 + (-6a + 8a) + 3 = 3a^2 + 2a + 3$

Ответ: $3a^2 + 2a + 3$

д) $9c^2 - 4 + 6(c - 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$(c - 2)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2 = c^2 - 4c + 4$

Подставим полученный многочлен в исходное выражение:

$9c^2 - 4 + 6(c^2 - 4c + 4)$

Раскроем скобки, умножив на 6:

$9c^2 - 4 + 6c^2 - 24c + 24$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(9c^2 + 6c^2) - 24c + (-4 + 24) = 15c^2 - 24c + 20$

Ответ: $15c^2 - 24c + 20$

е) $10ab - 4(2a - b)^2 + 6b^2$

Сначала раскроем квадрат разности:

$(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

Подставим результат в исходное выражение:

$10ab - 4(4a^2 - 4ab + b^2) + 6b^2$

Раскроем скобки, умножая на -4:

$10ab - 16a^2 + 16ab - 4b^2 + 6b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$-16a^2 + (10ab + 16ab) + (-4b^2 + 6b^2) = -16a^2 + 26ab + 2b^2$

Ответ: $-16a^2 + 26ab + 2b^2$

824. Докажите тождество:

а) $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$;

б) $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$;

в) $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$;

г) $(a+b)^2 - 2b(a+b) = a^2 - b^2$.

а) Для доказательства тождества $ (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ и квадратом разности $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Подставим разложения в левую часть равенства:

$ (a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2 $

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2) $

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab $ преобразуем его левую часть, используя те же формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Подставим разложения в левую часть равенства:

$ (a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) $

Раскроем скобки. Обратим внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки внутри нее изменятся на противоположные:

$ a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = (a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) = 4ab $

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества $ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab $ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

$ (a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab $

Приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + (2ab - 2ab) + b^2 = a^2 + b^2 $

В результате преобразований правая часть тождества стала равна левой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Для доказательства тождества $ (a + b)^2 - 2b(a + b) = a^2 - b^2 $ преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки.

Первое слагаемое раскроем по формуле квадрата суммы, а во втором слагаемом умножим $ -2b $ на каждый член в скобках:

$ (a + b)^2 - 2b(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (2b \cdot a + 2b \cdot b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (2ab + 2b^2) $

Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + 2ab + b^2 - 2ab - 2b^2 = a^2 + (2ab - 2ab) + (b^2 - 2b^2) = a^2 - b^2 $

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части, которая является формулой разности квадратов. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

816. Представьте в виде многочлена:

а) $18a + (a - 9)^2;$

б) $(5x - 1)^2 - 25x^2;$

в) $4x^2 - (2x - 3)^2;$

г) $(a + 2b)^2 - 4b^2.$

а) Чтобы представить выражение $18a + (a - 9)^2$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Применим формулу к выражению $(a - 9)^2$:
$(a - 9)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 9 + 9^2 = a^2 - 18a + 81$.
Теперь подставим полученный многочлен в исходное выражение:
$18a + (a^2 - 18a + 81)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$18a + a^2 - 18a + 81 = a^2 + (18a - 18a) + 81 = a^2 + 81$.
Ответ: $a^2 + 81$.

б) Чтобы представить выражение $(5x - 1)^2 - 25x^2$ в виде многочлена, раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Применим формулу к выражению $(5x - 1)^2$:
$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$.
Подставим полученный многочлен в исходное выражение:
$(25x^2 - 10x + 1) - 25x^2$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$25x^2 - 10x + 1 - 25x^2 = (25x^2 - 25x^2) - 10x + 1 = -10x + 1$.
Ответ: $-10x + 1$.

в) Чтобы представить выражение $4x^2 - (2x - 3)^2$ в виде многочлена, раскроем скобки. Сначала используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ для выражения $(2x - 3)^2$.
$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$.
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$4x^2 - (4x^2 - 12x + 9)$.
Так как перед скобкой стоит знак минус, при их раскрытии все знаки внутри меняются на противоположные:
$4x^2 - 4x^2 + 12x - 9$.
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) + 12x - 9 = 12x - 9$.
Ответ: $12x - 9$.

г) Чтобы представить выражение $(a + 2b)^2 - 4b^2$ в виде многочлена, раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Применим формулу к выражению $(a + 2b)^2$:
$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.
Подставим полученный многочлен в исходное выражение:
$(a^2 + 4ab + 4b^2) - 4b^2$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 4ab + 4b^2 - 4b^2 = a^2 + 4ab + (4b^2 - 4b^2) = a^2 + 4ab$.
Ответ: $a^2 + 4ab$.

819. Решите уравнение:

а) $(x - 6)^2 - x(x + 8) = 2;$

б) $9x(x + 6) - (3x + 1)^2 = 1;$

в) $y(y - 1) - (y - 5)^2 = 2;$

г) $16y(2 - y) + (4y - 5)^2 = 0.$

а) $(x - 6)^2 - x(x + 8) = 2$

Для решения уравнения раскроем скобки в левой части. Выражение $(x - 6)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Выражение $x(x + 8)$ раскроем, умножив $x$ на каждый член в скобках.

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - (x \cdot x + x \cdot 8) = 2$

$(x^2 - 12x + 36) - (x^2 + 8x) = 2$

Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок изменятся на противоположные.

$x^2 - 12x + 36 - x^2 - 8x = 2$

Приведем подобные слагаемые. $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются.

$(x^2 - x^2) + (-12x - 8x) + 36 = 2$

$-20x + 36 = 2$

Перенесем 36 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.

$-20x = 2 - 36$

$-20x = -34$

Разделим обе части уравнения на -20, чтобы найти $x$.

$x = \frac{-34}{-20} = \frac{34}{20} = \frac{17}{10} = 1.7$

Ответ: $1.7$.

б) $9x(x + 6) - (3x + 1)^2 = 1$

Раскроем скобки в левой части. Выражение $(3x + 1)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(9x \cdot x + 9x \cdot 6) - ((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) = 1$

$(9x^2 + 54x) - (9x^2 + 6x + 1) = 1$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные.

$9x^2 + 54x - 9x^2 - 6x - 1 = 1$

Приведем подобные слагаемые. $9x^2$ и $-9x^2$ взаимно уничтожаются.

$(9x^2 - 9x^2) + (54x - 6x) - 1 = 1$

$48x - 1 = 1$

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$48x = 1 + 1$

$48x = 2$

Разделим обе части уравнения на 48.

$x = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$.

в) $y(y - 1) - (y - 5)^2 = 2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя правило умножения одночлена на многочлен и формулу квадрата разности.

$(y^2 - y) - (y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2) = 2$

$(y^2 - y) - (y^2 - 10y + 25) = 2$

Раскроем вторые скобки.

$y^2 - y - y^2 + 10y - 25 = 2$

Приведем подобные слагаемые. $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются.

$(y^2 - y^2) + (-y + 10y) - 25 = 2$

$9y - 25 = 2$

Перенесем -25 в правую часть уравнения.

$9y = 2 + 25$

$9y = 27$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 9.

$y = \frac{27}{9} = 3$

Ответ: $3$.

г) $16y(2 - y) + (4y - 5)^2 = 0$

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$(16y \cdot 2 - 16y \cdot y) + ((4y)^2 - 2 \cdot 4y \cdot 5 + 5^2) = 0$

$(32y - 16y^2) + (16y^2 - 40y + 25) = 0$

Так как перед вторыми скобками стоит знак плюс, мы можем просто их убрать.

$32y - 16y^2 + 16y^2 - 40y + 25 = 0$

Приведем подобные слагаемые. $-16y^2$ и $16y^2$ взаимно уничтожаются.

$(-16y^2 + 16y^2) + (32y - 40y) + 25 = 0$

$-8y + 25 = 0$

Перенесем 25 в правую часть уравнения.

$-8y = -25$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на -8.

$y = \frac{-25}{-8} = \frac{25}{8}$

Ответ: $\frac{25}{8}$.

822. Преобразуйте в многочлен выражение:

а) $5(3a + 7)^2$;

б) $-6(4 - b)^2$;

в) $-3(2 - x)^2 - 10x$;

г) $12a^2 - 4(1 - 2a)^2 + 8$.

а) Чтобы преобразовать выражение $5(3a + 7)^2$ в многочлен, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(3a + 7)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 7 + 7^2 = 9a^2 + 42a + 49$.

Теперь умножим полученный многочлен на 5:

$5(9a^2 + 42a + 49) = 5 \cdot 9a^2 + 5 \cdot 42a + 5 \cdot 49 = 45a^2 + 210a + 245$.

Ответ: $45a^2 + 210a + 245$.

б) Чтобы преобразовать выражение $-6(4 - b)^2$ в многочлен, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(4 - b)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot b + b^2 = 16 - 8b + b^2$.

Теперь умножим полученный многочлен на -6:

$-6(16 - 8b + b^2) = -6 \cdot 16 - 6 \cdot (-8b) - 6 \cdot b^2 = -96 + 48b - 6b^2$.

Запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной):

$-6b^2 + 48b - 96$.

Ответ: $-6b^2 + 48b - 96$.

в) Чтобы преобразовать выражение $-3(2 - x)^2 - 10x$ в многочлен, выполним действия по порядку. Сначала раскроем скобки с квадратом разности:

$(2 - x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$.

Теперь умножим полученный результат на -3:

$-3(4 - 4x + x^2) = -12 + 12x - 3x^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(-12 + 12x - 3x^2) - 10x = -3x^2 + (12x - 10x) - 12 = -3x^2 + 2x - 12$.

Ответ: $-3x^2 + 2x - 12$.

г) Чтобы преобразовать выражение $12a^2 - 4(1 - 2a)^2 + 8$ в многочлен, сначала раскроем скобки с квадратом разности:

$(1 - 2a)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2a) + (2a)^2 = 1 - 4a + 4a^2$.

Теперь умножим полученный результат на -4:

$-4(1 - 4a + 4a^2) = -4 + 16a - 16a^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$12a^2 + (-4 + 16a - 16a^2) + 8 = (12a^2 - 16a^2) + 16a + (-4 + 8) = -4a^2 + 16a + 4$.

Ответ: $-4a^2 + 16a + 4$.

825. Докажите тождество Диофанта (III в.):

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2.$

Для доказательства тождества Диофанта $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ необходимо показать, что его левая и правая части равны при любых значениях переменных $a$, $b$, $c$ и $d$. Для этого выполним алгебраические преобразования обеих частей.

Сначала преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки путем перемножения многочленов:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2 \cdot c^2 + a^2 \cdot d^2 + b^2 \cdot c^2 + b^2 \cdot d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Теперь преобразуем правую часть равенства. Она представляет собой сумму двух квадратов. Раскроем каждый квадрат, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

Первый член правой части:

$(ac + bd)^2 = (ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2$.

Второй член правой части:

$(ad - bc)^2 = (ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2 = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2$.

Далее сложим полученные выражения, чтобы получить преобразованную правую часть:

$(a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются:

$a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

Сравнивая итоговое выражение для левой части ($a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$) и итоговое выражение для правой части ($a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$), мы видим, что они идентичны.

Поскольку обе части равенства приводятся к одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.