Номер 836, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 836, страница 170.

Условие.

836. Поставьте вместо знака * такой одночлен, чтобы трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) $* + 56a + 49;$

б) $36 - 12x + *;$

в) $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2;$

г) $0,01b^2 + * + 100c^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы трёхчлен $* + 56a + 49$ можно было представить в виде квадрата двучлена, он должен соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В нашем выражении один из членов является квадратом числа: $49 = 7^2$. Пусть это будет $B^2$, тогда $B=7$.

Средний член выражения — это удвоенное произведение первого и второго членов двучлена: $2AB = 56a$.

Подставим известное значение $B=7$ в это уравнение: $2 \cdot A \cdot 7 = 56a$.

Отсюда $14A = 56a$, и мы находим $A = \frac{56a}{14} = 4a$.

Искомый одночлен, обозначенный знаком $*$, должен быть квадратом первого члена, то есть $A^2$.

Вычисляем $A^2 = (4a)^2 = 16a^2$.

Таким образом, трёхчлен имеет вид $16a^2 + 56a + 49$, что является квадратом двучлена $(4a+7)^2$.

Ответ: $16a^2$.

б) Рассмотрим трёхчлен $36 - 12x + *$. Он должен соответствовать формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Первый член выражения является квадратом числа: $36 = 6^2$. Пусть это будет $A^2$, тогда $A=6$.

Средний член выражения — это удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2AB = -12x$.

Подставим известное значение $A=6$ в это уравнение: $-2 \cdot 6 \cdot B = -12x$.

Отсюда $-12B = -12x$, и мы находим $B = x$.

Искомый одночлен, обозначенный знаком $*$, должен быть квадратом второго члена, то есть $B^2$.

Вычисляем $B^2 = x^2$.

Таким образом, трёхчлен имеет вид $36 - 12x + x^2$, что является квадратом двучлена $(6-x)^2$.

Ответ: $x^2$.

в) Рассмотрим трёхчлен $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2$. Он должен соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ или квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Определим члены $A$ и $B$. Первый член: $A^2 = 25a^2 = (5a)^2$, значит $A=5a$.

Третий член: $B^2 = \frac{1}{4}b^2 = (\frac{1}{2}b)^2$, значит $B=\frac{1}{2}b$.

Искомый одночлен, обозначенный знаком $*$, должен быть удвоенным произведением $A$ и $B$, то есть $2AB$ (или $-2AB$).

Вычисляем $2AB = 2 \cdot (5a) \cdot (\frac{1}{2}b) = 5ab$.

Если мы подставим $5ab$, то получим $25a^2 + 5ab + \frac{1}{4}b^2 = (5a + \frac{1}{2}b)^2$.

Если бы мы подставили $-5ab$, то получили бы $25a^2 - 5ab + \frac{1}{4}b^2 = (5a - \frac{1}{2}b)^2$. Оба варианта корректны. Выберем положительный.

Ответ: $5ab$.

г) Рассмотрим трёхчлен $0,01b^2 + * + 100c^2$. Он должен соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ или квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Определим члены $A$ и $B$. Первый член: $A^2 = 0,01b^2 = (0,1b)^2$, значит $A=0,1b$.

Третий член: $B^2 = 100c^2 = (10c)^2$, значит $B=10c$.

Искомый одночлен, обозначенный знаком $*$, должен быть удвоенным произведением $A$ и $B$, то есть $2AB$ (или $-2AB$).

Вычисляем $2AB = 2 \cdot (0,1b) \cdot (10c) = 2bc$.

Если мы подставим $2bc$, то получим $0,01b^2 + 2bc + 100c^2 = (0,1b + 10c)^2$.

Если бы мы подставили $-2bc$, то получили бы $0,01b^2 - 2bc + 100c^2 = (0,1b - 10c)^2$. Оба варианта корректны. Выберем положительный.

Ответ: $2bc$.