Номер 843, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 843, страница 171.

Условие.

843. Поставьте вместо многоточия какой-либо из знаков $\ge$ или $\le$ так, чтобы получившееся неравенство было верно при любом значении $x$:

а) $x^2 - 16x + 64 \ldots 0;$

б) $16 + 8x + x^2 \ldots 0;$

в) $-x^2 - 4x - 4 \ldots 0;$

г) $-x^2 + 18x - 81 \ldots 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рассмотрим выражение $x^2 - 16x + 64$. Данное выражение представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = x$ и $b = 8$, так как $x^2$ является квадратом $x$, а $64$ является квадратом $8$. Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot x \cdot 8 = 16x$. Таким образом, выражение можно записать в виде $(x-8)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть он больше или равен нулю. Следовательно, неравенство будет верным при любом значении $x$, если поставить знак $\ge$.
Ответ: $x^2 - 16x + 64 \ge 0$.

б) Рассмотрим выражение $16 + 8x + x^2$. Перепишем его в стандартном виде $x^2 + 8x + 16$. Данное выражение представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = x$ и $b = 4$. Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Таким образом, выражение можно записать в виде $(x+4)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Следовательно, неравенство будет верным при любом значении $x$, если поставить знак $\ge$.
Ответ: $16 + 8x + x^2 \ge 0$.

в) Рассмотрим выражение $-x^2 - 4x - 4$. Вынесем знак минус за скобки: $-(x^2 + 4x + 4)$. Выражение в скобках, $x^2 + 4x + 4$, является полным квадратом суммы $(x+2)^2$. Таким образом, исходное выражение можно записать как $-(x+2)^2$. Поскольку выражение $(x+2)^2$ всегда больше или равно нулю, то при умножении на $-1$ оно станет меньше или равно нулю. Следовательно, неравенство будет верным при любом значении $x$, если поставить знак $\le$.
Ответ: $-x^2 - 4x - 4 \le 0$.

г) Рассмотрим выражение $-x^2 + 18x - 81$. Вынесем знак минус за скобки: $-(x^2 - 18x + 81)$. Выражение в скобках, $x^2 - 18x + 81$, является полным квадратом разности $(x-9)^2$. Таким образом, исходное выражение можно записать как $-(x-9)^2$. Поскольку выражение $(x-9)^2$ всегда больше или равно нулю, то при умножении на $-1$ оно станет меньше или равно нулю. Следовательно, неравенство будет верным при любом значении $x$, если поставить знак $\le$.
Ответ: $-x^2 + 18x - 81 \le 0$.