Номер 838, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 838, страница 170.

Условие.

838. Замените знак * таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) $b^2 + 20b + *$

б) $* + 14b + 49$

в) $16x^2 + 24xy + *$

г) $* - 42pq + 49q^2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, необходимо воспользоваться формулами сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

В каждом из выражений мы определим, чему равны члены $a$ и $c$ из формулы, чтобы найти недостающий одночлен, обозначенный знаком $*$.

а) $b^2 + 20b + *$

Данное выражение соответствует формуле квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.

Сравнивая с формулой, определим члены:Первый член $a^2$ соответствует $b^2$, следовательно, $a=b$.Удвоенное произведение $2ac$ соответствует $20b$. Подставив $a=b$, получим $2bc = 20b$. Отсюда находим $c = \frac{20b}{2b} = 10$.

Искомый одночлен, заменяющий знак $*$, равен $c^2$.

$* = c^2 = 10^2 = 100$.

В результате получаем выражение $b^2 + 20b + 100$, которое равно $(b+10)^2$.

Ответ: $100$.

б) $* + 14b + 49$

Это выражение также соответствует формуле квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.

Сравнивая с формулой, определим члены:Третий член $c^2$ соответствует $49$, следовательно, $c = \sqrt{49} = 7$.Удвоенное произведение $2ac$ соответствует $14b$. Подставив $c=7$, получим $2a \cdot 7 = 14b$, или $14a = 14b$. Отсюда находим $a = b$.

Искомый одночлен, заменяющий знак $*$, равен $a^2$.

$* = a^2 = b^2$.

В результате получаем выражение $b^2 + 14b + 49$, которое равно $(b+7)^2$.

Ответ: $b^2$.

в) $16x^2 + 24xy + *$

Это выражение соответствует формуле квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$.

Сравнивая с формулой, определим члены:Первый член $a^2$ соответствует $16x^2$, следовательно, $a = \sqrt{16x^2} = 4x$.Удвоенное произведение $2ac$ соответствует $24xy$. Подставив $a=4x$, получим $2 \cdot (4x) \cdot c = 24xy$, или $8xc = 24xy$. Отсюда находим $c = \frac{24xy}{8x} = 3y$.

Искомый одночлен, заменяющий знак $*$, равен $c^2$.

$* = c^2 = (3y)^2 = 9y^2$.

В результате получаем выражение $16x^2 + 24xy + 9y^2$, которое равно $(4x+3y)^2$.

Ответ: $9y^2$.

г) $* - 42pq + 49q^2$

Так как средний член имеет знак "минус", это выражение соответствует формуле квадрата разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.

Сравнивая с формулой, определим члены:Третий член $c^2$ соответствует $49q^2$, следовательно, $c = \sqrt{49q^2} = 7q$.Удвоенное произведение $2ac$ соответствует $42pq$. Подставив $c=7q$, получим $2a \cdot (7q) = 42pq$, или $14aq = 42pq$. Отсюда находим $a = \frac{42pq}{14q} = 3p$.

Искомый одночлен, заменяющий знак $*$, равен $a^2$.

$* = a^2 = (3p)^2 = 9p^2$.

В результате получаем выражение $9p^2 - 42pq + 49q^2$, которое равно $(3p-7q)^2$.

Ответ: $9p^2$.