Номер 851, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 851, страница 172.

Условие.

851. Представьте в виде многочлена:

а) $(x^2 + 4xy - y^2)(2y - x)$;

б) $(3 - a)(a^3 - 4a^2 - 5a)$;

в) $(a^2 - 4ab + b^2)(2a - b)$;

г) $(x - p)(x^2 + px + p^2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить произведение в виде многочлена, необходимо каждый член первого многочлена $(x^2 + 4xy - y^2)$ умножить на каждый член второго многочлена $(2y - x)$ и затем сложить полученные произведения.
$(x^2 + 4xy - y^2)(2y - x) = x^2 \cdot (2y - x) + 4xy \cdot (2y - x) - y^2 \cdot (2y - x) = $
$= (x^2 \cdot 2y - x^2 \cdot x) + (4xy \cdot 2y - 4xy \cdot x) - (y^2 \cdot 2y - y^2 \cdot x) = $
$= 2x^2y - x^3 + 8xy^2 - 4x^2y - 2y^3 + xy^2$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= -x^3 + (2x^2y - 4x^2y) + (8xy^2 + xy^2) - 2y^3 = $
$= -x^3 - 2x^2y + 9xy^2 - 2y^3$
Ответ: $-x^3 - 2x^2y + 9xy^2 - 2y^3$.

б) Умножим каждый член многочлена $(3 - a)$ на каждый член многочлена $(a^3 - 4a^2 - 5a)$.
$(3 - a)(a^3 - 4a^2 - 5a) = 3 \cdot (a^3 - 4a^2 - 5a) - a \cdot (a^3 - 4a^2 - 5a) = $
$= (3a^3 - 12a^2 - 15a) - (a^4 - 4a^3 - 5a^2) = $
$= 3a^3 - 12a^2 - 15a - a^4 + 4a^3 + 5a^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, располагая их по убыванию степеней переменной $a$:
$= -a^4 + (3a^3 + 4a^3) + (-12a^2 + 5a^2) - 15a = $
$= -a^4 + 7a^3 - 7a^2 - 15a$
Ответ: $-a^4 + 7a^3 - 7a^2 - 15a$.

в) Умножим каждый член многочлена $(a^2 - 4ab + b^2)$ на каждый член многочлена $(2a - b)$.
$(a^2 - 4ab + b^2)(2a - b) = a^2(2a - b) - 4ab(2a - b) + b^2(2a - b) = $
$= (2a^3 - a^2b) - (8a^2b - 4ab^2) + (2ab^2 - b^3) = $
$= 2a^3 - a^2b - 8a^2b + 4ab^2 + 2ab^2 - b^3$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= 2a^3 + (-a^2b - 8a^2b) + (4ab^2 + 2ab^2) - b^3 = $
$= 2a^3 - 9a^2b + 6ab^2 - b^3$
Ответ: $2a^3 - 9a^2b + 6ab^2 - b^3$.

г) Данное выражение представляет собой формулу сокращенного умножения "разность кубов": $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
В этом примере $a=x$ и $b=p$. Применив формулу, получаем:
$(x - p)(x^2 + px + p^2) = x^3 - p^3$
Для проверки выполним умножение многочленов напрямую:
$(x - p)(x^2 + px + p^2) = x(x^2 + px + p^2) - p(x^2 + px + p^2) = $
$= (x^3 + px^2 + p^2x) - (px^2 + p^2x + p^3) = $
$= x^3 + px^2 + p^2x - px^2 - p^2x - p^3$
Приведем подобные слагаемые:
$= x^3 + (px^2 - px^2) + (p^2x - p^2x) - p^3 = x^3 - p^3$
Ответ: $x^3 - p^3$.