Страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

895. Разложите на множители:

а) $9y^2 - (1 + 2y)^2$;

б) $(3c - 5)^2 - 16c^2$;

в) $49x^2 - (y + 8x)^2$;

г) $(5a - 3b)^2 - 25a^2$;

д) $(-2a^2 + 3b)^2 - 4a^4$;

е) $b^6 - (x - 4b^3)^2$.

Для разложения на множители во всех пунктах используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $9y^2 - (1 + 2y)^2$

В этом выражении $a^2 = 9y^2$, поэтому $a = 3y$.
Второй член $b^2 = (1 + 2y)^2$, поэтому $b = 1 + 2y$.

Подставляем в формулу разности квадратов:

$(3y - (1 + 2y))(3y + (1 + 2y))$

Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:

$(3y - 1 - 2y)(3y + 1 + 2y) = (y - 1)(5y + 1)$

Ответ: $(y - 1)(5y + 1)$.

б) $(3c - 5)^2 - 16c^2$

Здесь $a^2 = (3c - 5)^2$, поэтому $a = 3c - 5$.
Второй член $b^2 = 16c^2$, поэтому $b = 4c$.

Подставляем в формулу:

$((3c - 5) - 4c)((3c - 5) + 4c)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(3c - 5 - 4c)(3c - 5 + 4c) = (-c - 5)(7c - 5)$

Ответ: $(-c - 5)(7c - 5)$.

в) $49x^2 - (y + 8x)^2$

Здесь $a^2 = 49x^2$, поэтому $a = 7x$.
Второй член $b^2 = (y + 8x)^2$, поэтому $b = y + 8x$.

Подставляем в формулу:

$(7x - (y + 8x))(7x + (y + 8x))$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$(7x - y - 8x)(7x + y + 8x) = (-x - y)(15x + y)$

Ответ: $(-x - y)(15x + y)$.

г) $(5a - 3b)^2 - 25a^2$

Здесь $a^2 = (5a - 3b)^2$, поэтому $a = 5a - 3b$.
Второй член $b^2 = 25a^2$, поэтому $b = 5a$.

Подставляем в формулу:

$((5a - 3b) - 5a)((5a - 3b) + 5a)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(5a - 3b - 5a)(5a - 3b + 5a) = (-3b)(10a - 3b)$

Ответ: $-3b(10a - 3b)$.

д) $(-2a^2 + 3b)^2 - 4a^4$

Представим $4a^4$ в виде квадрата: $4a^4 = (2a^2)^2$.
Теперь выражение имеет вид разности квадратов, где $a = -2a^2 + 3b$ и $b = 2a^2$.

Подставляем в формулу:

$((-2a^2 + 3b) - 2a^2)((-2a^2 + 3b) + 2a^2)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(-2a^2 + 3b - 2a^2)(-2a^2 + 3b + 2a^2) = (-4a^2 + 3b)(3b)$

Для удобства можно записать так: $3b(3b - 4a^2)$.

Ответ: $3b(3b - 4a^2)$.

е) $b^6 - (x - 4b^3)^2$

Представим $b^6$ в виде квадрата: $b^6 = (b^3)^2$.
Выражение является разностью квадратов, где $a = b^3$ и $b = x - 4b^3$.

Подставляем в формулу:

$(b^3 - (x - 4b^3))(b^3 + (x - 4b^3))$

Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:

$(b^3 - x + 4b^3)(b^3 + x - 4b^3) = (5b^3 - x)(x - 3b^3)$

Ответ: $(5b^3 - x)(x - 3b^3)$.

898. a) Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(4n+5)^2 - 9$ делится на 4.

б) Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(n+7)^2 - n^2$ делится на 7.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения $(4n + 5)^2 - 9$ делится на 4 при любом натуральном $n$, преобразуем его. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим число 9 как $3^2$. Тогда исходное выражение примет вид:

$(4n + 5)^2 - 3^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 4n + 5$ и $b = 3$:

$((4n + 5) - 3)((4n + 5) + 3)$

Упростим выражения в скобках:

$(4n + 2)(4n + 8)$

Теперь вынесем общий множитель из каждой скобки:

$2(2n + 1) \cdot 4(n + 2)$

Перемножим числовые множители:

$8(2n + 1)(n + 2)$

Полученное выражение можно представить как $4 \cdot [2(2n + 1)(n + 2)]$. Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение $2(2n + 1)(n + 2)$ является целым числом. Следовательно, исходное выражение всегда кратно 4, так как один из его множителей равен 4 (и даже 8).

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что значение выражения $(n + 7)^2 - n^2$ делится на 7 при любом натуральном $n$, также применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном выражении $a = n + 7$ и $b = n$:

$(n + 7)^2 - n^2 = ((n + 7) - n)((n + 7) + n)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(n + 7 - n)(2n + 7)$

$(7)(2n + 7)$

Получилось выражение $7(2n + 7)$. Поскольку $n$ — натуральное число, то сумма $2n + 7$ также является целым числом. Таким образом, исходное выражение представляет собой произведение числа 7 и целого числа, а значит, оно всегда делится на 7 без остатка.

Ответ: Доказано.

901. Представьте в виде куба одночлена выражение:

а) $27a^3$;

б) $-8m^3$;

в) $8b^6$;

г) $-64p^6$;

д) $-27a^3x^6$;

е) $64a^6x^9$.

Чтобы представить выражение в виде куба одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь кубический корень из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 3, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а) $27a^3$

Находим кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{27} = 3$.

Делим показатель степени переменной $a$ на 3: $a^{3/3} = a^1 = a$.

Собираем одночлен: $3a$.

Проверка: $(3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$.

Ответ: $(3a)^3$.

б) $-8m^3$

Находим кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Делим показатель степени переменной $m$ на 3: $m^{3/3} = m^1 = m$.

Собираем одночлен: $-2m$.

Проверка: $(-2m)^3 = (-2)^3 \cdot m^3 = -8m^3$.

Ответ: $(-2m)^3$.

в) $8b^6$

Находим кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{8} = 2$.

Делим показатель степени переменной $b$ на 3: $b^{6/3} = b^2$.

Собираем одночлен: $2b^2$.

Проверка: $(2b^2)^3 = 2^3 \cdot (b^2)^3 = 8b^{2 \cdot 3} = 8b^6$.

Ответ: $(2b^2)^3$.

г) $-64p^6$

Находим кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{-64} = -4$.

Делим показатель степени переменной $p$ на 3: $p^{6/3} = p^2$.

Собираем одночлен: $-4p^2$.

Проверка: $(-4p^2)^3 = (-4)^3 \cdot (p^2)^3 = -64p^{2 \cdot 3} = -64p^6$.

Ответ: $(-4p^2)^3$.

д) $-27a^3x^6$

Находим кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{-27} = -3$.

Делим показатели степеней переменных на 3: $a^{3/3} = a^1 = a$ и $x^{6/3} = x^2$.

Собираем одночлен: $-3ax^2$.

Проверка: $(-3ax^2)^3 = (-3)^3 \cdot a^3 \cdot (x^2)^3 = -27a^3x^{2 \cdot 3} = -27a^3x^6$.

Ответ: $(-3ax^2)^3$.

е) $64a^6x^9$

Находим кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{64} = 4$.

Делим показатели степеней переменных на 3: $a^{6/3} = a^2$ и $x^{9/3} = x^3$.

Собираем одночлен: $4a^2x^3$.

Проверка: $(4a^2x^3)^3 = 4^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (x^3)^3 = 64a^{2 \cdot 3}x^{3 \cdot 3} = 64a^6x^9$.

Ответ: $(4a^2x^3)^3$.

893. Разложите на множители:

а) $64 - y^4$;

б) $x^2 - c^6$;

в) $a^4 - b^8$;

г) $25m^6 - n^2$;

д) $1 - 49p^{10}$;

е) $4y^6 - 9a^4$;

ж) $64 - a^4b^4$;

з) $16b^2c^{12} - 0,25$;

и) $81x^6y^2 - 0,36a^2$.

Для решения всех пунктов этого задания мы будем использовать формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Исходное выражение $64 - y^4$. Представим каждый член этого выражения в виде квадрата: $64 = 8^2$ и $y^4 = (y^2)^2$. Таким образом, мы получаем разность квадратов: $8^2 - (y^2)^2$. Применив формулу, где $a=8$ и $b=y^2$, получим разложение на множители.
$64 - y^4 = 8^2 - (y^2)^2 = (8 - y^2)(8 + y^2)$.
Ответ: $(8 - y^2)(8 + y^2)$.

б) Исходное выражение $x^2 - c^6$. Представим $c^6$ как квадрат выражения $c^3$, то есть $c^6 = (c^3)^2$. Теперь выражение имеет вид $x^2 - (c^3)^2$, что является разностью квадратов. Применим формулу, где $a=x$ и $b=c^3$.
$x^2 - c^6 = x^2 - (c^3)^2 = (x - c^3)(x + c^3)$.
Ответ: $(x - c^3)(x + c^3)$.

в) Исходное выражение $a^4 - b^8$. Представим его как разность квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$. Получаем $(a^2)^2 - (b^4)^2$. Применяем формулу, где $a_{формулы}=a^2$ и $b_{формулы}=b^4$.
$a^4 - b^8 = (a^2)^2 - (b^4)^2 = (a^2 - b^4)(a^2 + b^4)$.
Обратим внимание, что первый множитель $a^2 - b^4$ также является разностью квадратов: $a^2 - (b^2)^2 = (a - b^2)(a + b^2)$. Второй множитель $a^2 + b^4$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Окончательное разложение: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$.
Ответ: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$.

г) Исходное выражение $25m^6 - n^2$. Представим $25m^6$ в виде квадрата: $25m^6 = (5m^3)^2$. Выражение принимает вид $(5m^3)^2 - n^2$. Это разность квадратов, где $a=5m^3$ и $b=n$.
$25m^6 - n^2 = (5m^3)^2 - n^2 = (5m^3 - n)(5m^3 + n)$.
Ответ: $(5m^3 - n)(5m^3 + n)$.

д) Исходное выражение $1 - 49p^{10}$. Представим его как разность квадратов: $1=1^2$ и $49p^{10} = (7p^5)^2$. Получаем $1^2 - (7p^5)^2$. Применяем формулу, где $a=1$ и $b=7p^5$.
$1 - 49p^{10} = 1^2 - (7p^5)^2 = (1 - 7p^5)(1 + 7p^5)$.
Ответ: $(1 - 7p^5)(1 + 7p^5)$.

е) Исходное выражение $4y^6 - 9a^4$. Представим каждый член в виде квадрата: $4y^6 = (2y^3)^2$ и $9a^4 = (3a^2)^2$. Выражение становится $(2y^3)^2 - (3a^2)^2$. Это разность квадратов, где $a=2y^3$ и $b=3a^2$.
$4y^6 - 9a^4 = (2y^3)^2 - (3a^2)^2 = (2y^3 - 3a^2)(2y^3 + 3a^2)$.
Ответ: $(2y^3 - 3a^2)(2y^3 + 3a^2)$.

ж) Исходное выражение $64 - a^4b^4$. Представим его как разность квадратов: $64=8^2$ и $a^4b^4 = (a^2b^2)^2$. Получаем $8^2 - (a^2b^2)^2$. Применяем формулу, где $a=8$ и $b=a^2b^2$.
$64 - a^4b^4 = 8^2 - (a^2b^2)^2 = (8 - a^2b^2)(8 + a^2b^2)$.
Ответ: $(8 - a^2b^2)(8 + a^2b^2)$.

з) Исходное выражение $16b^2c^{12} - 0,25$. Представим его как разность квадратов. $16b^2c^{12} = (4bc^6)^2$ и $0,25 = (0,5)^2$. Получаем $(4bc^6)^2 - (0,5)^2$. Применяем формулу, где $a=4bc^6$ и $b=0,5$.
$16b^2c^{12} - 0,25 = (4bc^6)^2 - (0,5)^2 = (4bc^6 - 0,5)(4bc^6 + 0,5)$.
Ответ: $(4bc^6 - 0,5)(4bc^6 + 0,5)$.

и) Исходное выражение $81x^6y^2 - 0,36a^2$. Представим члены выражения в виде квадратов: $81x^6y^2 = (9x^3y)^2$ и $0,36a^2 = (0,6a)^2$. Выражение принимает вид $(9x^3y)^2 - (0,6a)^2$. По формуле разности квадратов, где $a=9x^3y$ и $b=0,6a$, получаем разложение.
$81x^6y^2 - 0,36a^2 = (9x^3y)^2 - (0,6a)^2 = (9x^3y - 0,6a)(9x^3y + 0,6a)$.
Ответ: $(9x^3y - 0,6a)(9x^3y + 0,6a)$.

896. Представьте в виде произведения:

а) $(2b - 5)^2 - 36;$

б) $9 - (7 + 3a)^2;$

в) $(4 - 11m)^2 - 1;$

г) $p^2 - (2p + 1)^2;$

д) $(5c - 3d)^2 - 9d^2;$

е) $a^4 - (9b + a^2)^2.$

Для решения всех примеров используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Исходное выражение $(2b - 5)^2 - 36$. Представим $36$ как $6^2$. Получим выражение $(2b - 5)^2 - 6^2$, которое является разностью квадратов. Применим формулу, где $a = 2b - 5$ и $b = 6$.
$(2b - 5)^2 - 6^2 = ((2b - 5) - 6)((2b - 5) + 6)$.
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $2b - 5 - 6 = 2b - 11$.
Вторая скобка: $2b - 5 + 6 = 2b + 1$.
Результат: $(2b - 11)(2b + 1)$.
Ответ: $(2b - 11)(2b + 1)$.

б) Исходное выражение $9 - (7 + 3a)^2$. Представим $9$ как $3^2$. Получим выражение $3^2 - (7 + 3a)^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = 3$ и $b = 7 + 3a$.
$3^2 - (7 + 3a)^2 = (3 - (7 + 3a))(3 + (7 + 3a))$.
Раскроем внутренние скобки и упростим:
Первая скобка: $3 - 7 - 3a = -4 - 3a = -(4 + 3a)$.
Вторая скобка: $3 + 7 + 3a = 10 + 3a$.
Результат: $-(4 + 3a)(10 + 3a)$.
Ответ: $-(4 + 3a)(10 + 3a)$.

в) Исходное выражение $(4 - 11m)^2 - 1$. Представим $1$ как $1^2$. Получим $(4 - 11m)^2 - 1^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = 4 - 11m$ и $b = 1$.
$(4 - 11m)^2 - 1^2 = ((4 - 11m) - 1)((4 - 11m) + 1)$.
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $4 - 11m - 1 = 3 - 11m$.
Вторая скобка: $4 - 11m + 1 = 5 - 11m$.
Результат: $(3 - 11m)(5 - 11m)$.
Ответ: $(3 - 11m)(5 - 11m)$.

г) Исходное выражение $p^2 - (2p + 1)^2$. Это разность квадратов, где $a = p$ и $b = 2p + 1$.
$p^2 - (2p + 1)^2 = (p - (2p + 1))(p + (2p + 1))$.
Раскроем скобки и упростим:
Первая скобка: $p - 2p - 1 = -p - 1 = -(p + 1)$.
Вторая скобка: $p + 2p + 1 = 3p + 1$.
Результат: $-(p + 1)(3p + 1)$.
Ответ: $-(p + 1)(3p + 1)$.

д) Исходное выражение $(5c - 3d)^2 - 9d^2$. Представим $9d^2$ как $(3d)^2$. Получим $(5c - 3d)^2 - (3d)^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = 5c - 3d$ и $b = 3d$.
$(5c - 3d)^2 - (3d)^2 = ((5c - 3d) - 3d)((5c - 3d) + 3d)$.
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $5c - 3d - 3d = 5c - 6d$.
Вторая скобка: $5c - 3d + 3d = 5c$.
Результат: $5c(5c - 6d)$.
Ответ: $5c(5c - 6d)$.

е) Исходное выражение $a^4 - (9b + a^2)^2$. Представим $a^4$ как $(a^2)^2$. Получим $(a^2)^2 - (9b + a^2)^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = a^2$ и $b = 9b + a^2$.
$(a^2)^2 - (9b + a^2)^2 = (a^2 - (9b + a^2))(a^2 + (9b + a^2))$.
Раскроем скобки и упростим:
Первая скобка: $a^2 - 9b - a^2 = -9b$.
Вторая скобка: $a^2 + 9b + a^2 = 2a^2 + 9b$.
Результат: $-9b(2a^2 + 9b)$.
Ответ: $-9b(2a^2 + 9b)$.

899. На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис. 73). Площадь одного квадрата на 95 $см^2$ больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.

Рис. 73

Обозначим ширину прямоугольника как w см, а длину — как l см.

По условию задачи, длина прямоугольника на 5 см больше его ширины. Это можно записать в виде уравнения:
$l = w + 5$

На сторонах прямоугольника построены два квадрата. Сторона одного квадрата равна ширине прямоугольника w, а другого — длине l. Поскольку длина больше ширины ($l > w$), то и площадь квадрата, построенного на длине, будет больше.
Площадь меньшего квадрата: $S_1 = w^2$.
Площадь большего квадрата: $S_2 = l^2$.

Известно, что разница площадей квадратов составляет 95 см². Запишем это в виде уравнения:
$S_2 - S_1 = 95$
$l^2 - w^2 = 95$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $l = w + 5$
2) $l^2 - w^2 = 95$

Подставим выражение для l из первого уравнения во второе:
$(w + 5)^2 - w^2 = 95$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(w^2 + 2 \cdot w \cdot 5 + 5^2) - w^2 = 95$
$w^2 + 10w + 25 - w^2 = 95$

Упростим полученное уравнение, сократив $w^2$ и $-w^2$:
$10w + 25 = 95$

Теперь решим это линейное уравнение относительно w:
$10w = 95 - 25$
$10w = 70$
$w = \frac{70}{10} = 7$ (см).
Итак, ширина прямоугольника равна 7 см.

Теперь найдем длину прямоугольника, подставив значение w в первое уравнение:
$l = w + 5 = 7 + 5 = 12$ (см).
Длина прямоугольника равна 12 см.

Последний шаг — найти периметр прямоугольника. Периметр вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$:
$P = 2(12 + 7)$
$P = 2 \cdot 19$
$P = 38$ (см).

Ответ: периметр прямоугольника равен 38 см.

894. Представьте выражение в виде произведения:

а) $(x+3)^2 - 1;$

б) $64 - (b+1)^2;$

в) $(4a-3)^2 - 16;$

г) $25 - (a+7)^2;$

д) $(5y-6)^2 - 81;$

е) $1 - (2x-1)^2.$

а) Представим выражение $(x + 3)^2 - 1$ в виде разности квадратов. Здесь $A = x + 3$, а $B = 1$, так как $1 = 1^2$.

Применяя формулу, получаем:

$(x + 3)^2 - 1^2 = ((x + 3) - 1)((x + 3) + 1)$

Упростим выражения в скобках:

$(x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4)$

Ответ: $(x + 2)(x + 4)$.

б) Представим выражение $64 - (b + 1)^2$ в виде разности квадратов. Здесь $A = 8$, так как $64 = 8^2$, а $B = b + 1$.

Применяя формулу, получаем:

$8^2 - (b + 1)^2 = (8 - (b + 1))(8 + (b + 1))$

Упростим выражения в скобках, раскрыв внутренние скобки:

$(8 - b - 1)(8 + b + 1) = (7 - b)(9 + b)$

Ответ: $(7 - b)(9 + b)$.

в) Представим выражение $(4a - 3)^2 - 16$ в виде разности квадратов. Здесь $A = 4a - 3$, а $B = 4$, так как $16 = 4^2$.

Применяя формулу, получаем:

$(4a - 3)^2 - 4^2 = ((4a - 3) - 4)((4a - 3) + 4)$

Упростим выражения в скобках:

$(4a - 3 - 4)(4a - 3 + 4) = (4a - 7)(4a + 1)$

Ответ: $(4a - 7)(4a + 1)$.

г) Представим выражение $25 - (a + 7)^2$ в виде разности квадратов. Здесь $A = 5$, так как $25 = 5^2$, а $B = a + 7$.

Применяя формулу, получаем:

$5^2 - (a + 7)^2 = (5 - (a + 7))(5 + (a + 7))$

Упростим выражения в скобках:

$(5 - a - 7)(5 + a + 7) = (-a - 2)(a + 12)$

Можно вынести знак минус из первой скобки: $-(a + 2)(a + 12)$.

Ответ: $(-a - 2)(a + 12)$.

д) Представим выражение $(5y - 6)^2 - 81$ в виде разности квадратов. Здесь $A = 5y - 6$, а $B = 9$, так как $81 = 9^2$.

Применяя формулу, получаем:

$(5y - 6)^2 - 9^2 = ((5y - 6) - 9)((5y - 6) + 9)$

Упростим выражения в скобках:

$(5y - 6 - 9)(5y - 6 + 9) = (5y - 15)(5y + 3)$

Можно вынести общий множитель 5 из первой скобки:

$5(y - 3)(5y + 3)$

Ответ: $5(y - 3)(5y + 3)$.

е) Представим выражение $1 - (2x - 1)^2$ в виде разности квадратов. Здесь $A = 1$, а $B = 2x - 1$.

Применяя формулу, получаем:

$1^2 - (2x - 1)^2 = (1 - (2x - 1))(1 + (2x - 1))$

Упростим выражения в скобках:

$(1 - 2x + 1)(1 + 2x - 1) = (2 - 2x)(2x)$

Вынесем общий множитель 2 из первой скобки:

$2(1 - x)(2x) = 4x(1 - x)$

Ответ: $4x(1 - x)$.

897. Представьте в виде произведения:

а) $(2x + y)^2 - (x - 2y)^2$;

б) $(a + b)^2 - (b + c)^2$;

в) $(m + n)^2 - (m - n)^2$;

г) $(4c - x)^2 - (2c + 3x)^2$.

а) Для того чтобы представить выражение $(2x+y)^2 - (x-2y)^2$ в виде произведения, воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

В данном случае, $A = 2x+y$ и $B = x-2y$.

Подставим эти значения в формулу:

$((2x+y) - (x-2y)) \cdot ((2x+y) + (x-2y))$

Раскроем скобки внутри каждой из групп:

$(2x+y-x+2y) \cdot (2x+y+x-2y)$

Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:

$(x+3y) \cdot (3x-y)$

Ответ: $(x+3y)(3x-y)$

б) Представим выражение $(a+b)^2 - (b+c)^2$ в виде произведения, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Здесь $A = a+b$ и $B = b+c$.

Подставляем в формулу:

$((a+b) - (b+c)) \cdot ((a+b) + (b+c))$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$(a+b-b-c) \cdot (a+b+b+c)$

$(a-c) \cdot (a+2b+c)$

Ответ: $(a-c)(a+2b+c)$

в) Для выражения $(m+n)^2 - (m-n)^2$ применим ту же формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Здесь $A = m+n$ и $B = m-n$.

Подставляем в формулу:

$((m+n) - (m-n)) \cdot ((m+n) + (m-n))$

Упрощаем выражения в скобках:

$(m+n-m+n) \cdot (m+n+m-n)$

$(2n) \cdot (2m)$

Перемножаем полученные одночлены:

$4mn$

Ответ: $4mn$

г) Представим выражение $(4c-x)^2 - (2c+3x)^2$ в виде произведения по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

В этом случае $A = 4c-x$ и $B = 2c+3x$.

Подставляем в формулу:

$((4c-x) - (2c+3x)) \cdot ((4c-x) + (2c+3x))$

Раскрываем внутренние скобки:

$(4c-x-2c-3x) \cdot (4c-x+2c+3x)$

Приводим подобные слагаемые:

$(2c-4x) \cdot (6c+2x)$

Можно вынести общий множитель 2 из каждой скобки для упрощения:

$2(c-2x) \cdot 2(3c+x) = 4(c-2x)(3c+x)$

Ответ: $4(c-2x)(3c+x)$

900. (Задача-исследование.) Верно ли, что если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2 - 1$ кратно 12.

1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.

2) Разложите многочлен $p^2 - 1$ на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.

3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.

4) Сделайте вывод.

1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.

Утверждение гласит, что если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2 - 1$ кратно 12. Простыми числами, большими трёх, являются 5, 7, 11, 13 и так далее. Проверим утверждение для нескольких из них:

• При $p = 5$: $p^2 - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$. Число 24 делится на 12 ($24 = 12 \cdot 2$).
• При $p = 7$: $p^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$. Число 48 делится на 12 ($48 = 12 \cdot 4$).
• При $p = 11$: $p^2 - 1 = 11^2 - 1 = 121 - 1 = 120$. Число 120 делится на 12 ($120 = 12 \cdot 10$).
• При $p = 13$: $p^2 - 1 = 13^2 - 1 = 169 - 1 = 168$. Число 168 делится на 12 ($168 = 12 \cdot 14$).

На данных примерах утверждение выполняется.

Ответ: на всех проверенных конкретных примерах утверждение является правильным.

2) Разложите многочлен $p^2 - 1$ на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.

Многочлен $p^2 - 1$ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$.

Теперь обсудим, почему произведение $(p-1)(p+1)$ кратно 4. По условию, $p$ — простое число, большее 3. Единственное чётное простое число — это 2. Следовательно, любое простое число $p > 3$ является нечётным. Если $p$ — нечётное число, то $p-1$ и $p+1$ — это два последовательных чётных числа. Например, если $p=5$, то $p-1=4$ и $p+1=6$. Если $p=7$, то $p-1=6$ и $p+1=8$. Так как $p-1$ и $p+1$ — последовательные чётные числа, одно из них обязательно делится на 2, а другое — на 4. Докажем это строго. Так как $p$ нечётное, его можно представить в виде $p = 2k+1$ для некоторого целого числа $k > 1$. Тогда множители будут равны: $p-1 = (2k+1) - 1 = 2k$ $p+1 = (2k+1) + 1 = 2k+2 = 2(k+1)$ Их произведение равно: $(p-1)(p+1) = 2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Так как в произведении есть множитель 4, то всё произведение $(p-1)(p+1)$ делится на 4.

Ответ: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$. Так как $p$ — нечётное число, $p-1$ и $p+1$ являются двумя последовательными чётными числами, поэтому их произведение всегда кратно 4.

3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.

Рассмотрим произведение $(p-1)(p+1)$. Числа $(p-1)$, $p$, $(p+1)$ представляют собой три последовательных целых числа. Среди любых трёх последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. По условию, $p$ — простое число, большее 3. Это означает, что само число $p$ на 3 не делится (иначе оно не было бы простым, так как $p > 3$). Поскольку $p$ не делится на 3, то на 3 должно делиться одно из двух соседних с ним чисел: либо $p-1$, либо $p+1$. Следовательно, их произведение $(p-1)(p+1)$ будет делиться на 3.

Ответ: числа $(p-1), p, (p+1)$ являются тремя последовательными целыми числами. Так как $p$ — простое число больше 3, оно не делится на 3. Значит, на 3 делится либо $p-1$, либо $p+1$, а следовательно, и их произведение $(p-1)(p+1)$.

4) Сделайте вывод.

Из пункта 2 мы доказали, что выражение $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$ делится на 4. Из пункта 3 мы доказали, что это же выражение делится на 3. Если число одновременно делится на 4 и на 3, то оно делится и на их наименьшее общее кратное. Поскольку числа 3 и 4 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), их наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(3, 4) = 3 \cdot 4 = 12$. Таким образом, мы доказали, что для любого простого числа $p$, большего трёх, значение выражения $p^2 - 1$ кратно 12.

Ответ: утверждение "если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2 - 1$ кратно 12" является верным.