Номер 900, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 900, страница 179.

Условие.

900. (Задача-исследование.) Верно ли, что если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2 - 1$ кратно 12.

1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.

2) Разложите многочлен $p^2 - 1$ на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.

3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.

4) Сделайте вывод.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.

Утверждение гласит, что если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2 - 1$ кратно 12. Простыми числами, большими трёх, являются 5, 7, 11, 13 и так далее. Проверим утверждение для нескольких из них:

• При $p = 5$: $p^2 - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$. Число 24 делится на 12 ($24 = 12 \cdot 2$).
• При $p = 7$: $p^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$. Число 48 делится на 12 ($48 = 12 \cdot 4$).
• При $p = 11$: $p^2 - 1 = 11^2 - 1 = 121 - 1 = 120$. Число 120 делится на 12 ($120 = 12 \cdot 10$).
• При $p = 13$: $p^2 - 1 = 13^2 - 1 = 169 - 1 = 168$. Число 168 делится на 12 ($168 = 12 \cdot 14$).

На данных примерах утверждение выполняется.

Ответ: на всех проверенных конкретных примерах утверждение является правильным.

2) Разложите многочлен $p^2 - 1$ на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.

Многочлен $p^2 - 1$ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$.

Теперь обсудим, почему произведение $(p-1)(p+1)$ кратно 4. По условию, $p$ — простое число, большее 3. Единственное чётное простое число — это 2. Следовательно, любое простое число $p > 3$ является нечётным. Если $p$ — нечётное число, то $p-1$ и $p+1$ — это два последовательных чётных числа. Например, если $p=5$, то $p-1=4$ и $p+1=6$. Если $p=7$, то $p-1=6$ и $p+1=8$. Так как $p-1$ и $p+1$ — последовательные чётные числа, одно из них обязательно делится на 2, а другое — на 4. Докажем это строго. Так как $p$ нечётное, его можно представить в виде $p = 2k+1$ для некоторого целого числа $k > 1$. Тогда множители будут равны: $p-1 = (2k+1) - 1 = 2k$ $p+1 = (2k+1) + 1 = 2k+2 = 2(k+1)$ Их произведение равно: $(p-1)(p+1) = 2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Так как в произведении есть множитель 4, то всё произведение $(p-1)(p+1)$ делится на 4.

Ответ: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$. Так как $p$ — нечётное число, $p-1$ и $p+1$ являются двумя последовательными чётными числами, поэтому их произведение всегда кратно 4.

3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.

Рассмотрим произведение $(p-1)(p+1)$. Числа $(p-1)$, $p$, $(p+1)$ представляют собой три последовательных целых числа. Среди любых трёх последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. По условию, $p$ — простое число, большее 3. Это означает, что само число $p$ на 3 не делится (иначе оно не было бы простым, так как $p > 3$). Поскольку $p$ не делится на 3, то на 3 должно делиться одно из двух соседних с ним чисел: либо $p-1$, либо $p+1$. Следовательно, их произведение $(p-1)(p+1)$ будет делиться на 3.

Ответ: числа $(p-1), p, (p+1)$ являются тремя последовательными целыми числами. Так как $p$ — простое число больше 3, оно не делится на 3. Значит, на 3 делится либо $p-1$, либо $p+1$, а следовательно, и их произведение $(p-1)(p+1)$.

4) Сделайте вывод.

Из пункта 2 мы доказали, что выражение $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$ делится на 4. Из пункта 3 мы доказали, что это же выражение делится на 3. Если число одновременно делится на 4 и на 3, то оно делится и на их наименьшее общее кратное. Поскольку числа 3 и 4 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), их наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(3, 4) = 3 \cdot 4 = 12$. Таким образом, мы доказали, что для любого простого числа $p$, большего трёх, значение выражения $p^2 - 1$ кратно 12.

Ответ: утверждение "если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2 - 1$ кратно 12" является верным.