Номер 898, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 898, страница 179.

Условие.

898. a) Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(4n+5)^2 - 9$ делится на 4.

б) Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(n+7)^2 - n^2$ делится на 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения $(4n + 5)^2 - 9$ делится на 4 при любом натуральном $n$, преобразуем его. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим число 9 как $3^2$. Тогда исходное выражение примет вид:

$(4n + 5)^2 - 3^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 4n + 5$ и $b = 3$:

$((4n + 5) - 3)((4n + 5) + 3)$

Упростим выражения в скобках:

$(4n + 2)(4n + 8)$

Теперь вынесем общий множитель из каждой скобки:

$2(2n + 1) \cdot 4(n + 2)$

Перемножим числовые множители:

$8(2n + 1)(n + 2)$

Полученное выражение можно представить как $4 \cdot [2(2n + 1)(n + 2)]$. Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение $2(2n + 1)(n + 2)$ является целым числом. Следовательно, исходное выражение всегда кратно 4, так как один из его множителей равен 4 (и даже 8).

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что значение выражения $(n + 7)^2 - n^2$ делится на 7 при любом натуральном $n$, также применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном выражении $a = n + 7$ и $b = n$:

$(n + 7)^2 - n^2 = ((n + 7) - n)((n + 7) + n)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(n + 7 - n)(2n + 7)$

$(7)(2n + 7)$

Получилось выражение $7(2n + 7)$. Поскольку $n$ — натуральное число, то сумма $2n + 7$ также является целым числом. Таким образом, исходное выражение представляет собой произведение числа 7 и целого числа, а значит, оно всегда делится на 7 без остатка.

Ответ: Доказано.