Номер 891, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 891, страница 178.

Условие.

891. Решите уравнение:

а) $m^2 - 25 = 0;$

б) $x^2 - 36 = 0;$

в) $9x^2 - 4 = 0;$

г) $16x^2 - 49 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $m^2 - 25 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения можно воспользоваться формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим число $25$ как $5^2$, чтобы привести уравнение к виду $m^2 - 5^2 = 0$.
Разложим левую часть на множители:
$(m - 5)(m + 5) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения:
$m - 5 = 0 \implies m_1 = 5$
$m + 5 = 0 \implies m_2 = -5$
Ответ: $\pm 5$.

б) $x^2 - 36 = 0$
Это также неполное квадратное уравнение. Решим его другим способом: перенесем свободный член (число без переменной) в правую часть уравнения.
$x^2 = 36$
Теперь, чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{36}$
$x = \pm 6$
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Ответ: $\pm 6$.

в) $9x^2 - 4 = 0$
Это уравнение также удобно решать с помощью формулы разности квадратов. Для этого представим $9x^2$ как $(3x)^2$ и $4$ как $2^2$.
$(3x)^2 - 2^2 = 0$
Разложим левую часть на множители:
$(3x - 2)(3x + 2) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$3x - 2 = 0$ или $3x + 2 = 0$
Решим каждое из этих линейных уравнений:
1) $3x = 2 \implies x_1 = \frac{2}{3}$
2) $3x = -2 \implies x_2 = -\frac{2}{3}$
Ответ: $\pm \frac{2}{3}$.

г) $16x^2 - 49 = 0$
Решим это уравнение методом переноса свободного члена и последующего извлечения корня.
Перенесем $-49$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$16x^2 = 49$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $16$:
$x^2 = \frac{49}{16}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{49}{16}}$
Используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, получаем:
$x = \pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}$
$x = \pm\frac{7}{4}$
Ответ: $\pm \frac{7}{4}$.