Номер 887, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 887, страница 178.

Условие.

887. Найдите значение дроби:

а) $ \frac{36}{13^2 - 11^2}; $

б) $ \frac{79^2 - 65^2}{420}; $

в) $ \frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2}; $

г) $ \frac{53^2 - 32^2}{61^2 - 44^2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения в знаменателе используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$ \frac{36}{13^2 - 11^2} = \frac{36}{(13 - 11)(13 + 11)} = \frac{36}{2 \cdot 24} = \frac{36}{48} $
Сократим дробь на 12:
$ \frac{36}{48} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12} = \frac{3}{4} $
Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Для упрощения выражения в числителе используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$ \frac{79^2 - 65^2}{420} = \frac{(79 - 65)(79 + 65)}{420} = \frac{14 \cdot 144}{420} $
Сократим дробь. Сначала разделим 14 и 420 на 14, что дает $\frac{144}{30}$. Затем разделим числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{144}{30} = \frac{144 \div 6}{30 \div 6} = \frac{24}{5} $
Ответ: $\frac{24}{5}$.

в) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и для числителя, и для знаменателя.
Числитель: $53^2 - 27^2 = (53 - 27)(53 + 27) = 26 \cdot 80$.
Знаменатель: $79^2 - 51^2 = (79 - 51)(79 + 51) = 28 \cdot 130$.
Получаем дробь:
$ \frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130} $
Сокращаем множители:
$ \frac{26 \cdot 80}{28 \cdot 130} = \frac{(2 \cdot 13) \cdot 80}{(4 \cdot 7) \cdot 130} = \frac{2 \cdot 13 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 10} $
Сокращаем 13, 10 и 4 (2*2), получаем:
$ \frac{2 \cdot 8}{4 \cdot 7} = \frac{16}{28} = \frac{4}{7} $
Ответ: $\frac{4}{7}$.

г) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и для числителя, и для знаменателя.
Числитель: $53^2 - 32^2 = (53 - 32)(53 + 32) = 21 \cdot 85$.
Знаменатель: $61^2 - 44^2 = (61 - 44)(61 + 44) = 17 \cdot 105$.
Получаем дробь:
$ \frac{21 \cdot 85}{17 \cdot 105} $
Сокращаем множители. Заметим, что $85 = 5 \cdot 17$ и $105 = 5 \cdot 21$:
$ \frac{21 \cdot (5 \cdot 17)}{17 \cdot (5 \cdot 21)} $
Все множители в числителе и знаменателе сокращаются:
$ \frac{21 \cdot 5 \cdot 17}{17 \cdot 5 \cdot 21} = 1 $
Ответ: 1.