Номер 890, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 890, страница 178.

Условие.

890. Решите уравнение:

а) $x^2 - 16 = 0;$

б) $y^2 - 81 = 0;$

в) $\frac{1}{9} - x^2 = 0;$

г) $a^2 - 0,25 = 0;$

д) $b^2 + 36 = 0;$

е) $x^2 - 1 = 0;$

ж) $4x^2 - 9 = 0;$

з) $25x^2 - 16 = 0;$

и) $81x^2 + 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 - 16 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения можно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим $16$ как $4^2$:
$x^2 - 4^2 = 0$
$(x - 4)(x + 4) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю:
$x - 4 = 0$ или $x + 4 = 0$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Ответ: $-4; 4$.

б) $y^2 - 81 = 0$.
Применим формулу разности квадратов, представив $81$ как $9^2$:
$y^2 - 9^2 = 0$
$(y - 9)(y + 9) = 0$
$y - 9 = 0 \implies y_1 = 9$
$y + 9 = 0 \implies y_2 = -9$.
Ответ: $-9; 9$.

в) $\frac{1}{9} - x^2 = 0$.
Представим $\frac{1}{9}$ как $(\frac{1}{3})^2$ и применим формулу разности квадратов:
$(\frac{1}{3})^2 - x^2 = 0$
$(\frac{1}{3} - x)(\frac{1}{3} + x) = 0$
$\frac{1}{3} - x = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3} + x = 0 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}$.

г) $a^2 - 0.25 = 0$.
Представим $0.25$ как $(0.5)^2$:
$a^2 - (0.5)^2 = 0$
$(a - 0.5)(a + 0.5) = 0$
$a - 0.5 = 0 \implies a_1 = 0.5$
$a + 0.5 = 0 \implies a_2 = -0.5$.
Ответ: $-0.5; 0.5$.

д) $b^2 + 36 = 0$.
Перенесем 36 в правую часть уравнения: $b^2 = -36$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($b^2 \ge 0$). Так как правая часть уравнения отрицательна ($-36 < 0$), уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: нет корней.

е) $x^2 - 1 = 0$.
Используя формулу разности квадратов, где $1 = 1^2$:
$x^2 - 1^2 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 1$.

ж) $4x^2 - 9 = 0$.
Представим левую часть как разность квадратов, заметив, что $4x^2 = (2x)^2$ и $9=3^2$:
$(2x)^2 - 3^2 = 0$
$(2x - 3)(2x + 3) = 0$
$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_1 = \frac{3}{2} = 1.5$
$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$.
Ответ: $-1.5; 1.5$.

з) $25x^2 - 16 = 0$.
Представим $25x^2$ как $(5x)^2$ и $16$ как $4^2$:
$(5x)^2 - 4^2 = 0$
$(5x - 4)(5x + 4) = 0$
$5x - 4 = 0 \implies 5x = 4 \implies x_1 = \frac{4}{5} = 0.8$
$5x + 4 = 0 \implies 5x = -4 \implies x_2 = -\frac{4}{5} = -0.8$.
Ответ: $-0.8; 0.8$.

и) $81x^2 + 4 = 0$.
Для любого действительного числа $x$, выражение $x^2$ неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $81x^2 \ge 0$. Сумма неотрицательного числа $81x^2$ и положительного числа $4$ всегда будет строго положительной ($81x^2 + 4 \ge 4 > 0$). Таким образом, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.