Номер 896, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 896, страница 179.

Условие.

896. Представьте в виде произведения:

а) $(2b - 5)^2 - 36;$

б) $9 - (7 + 3a)^2;$

в) $(4 - 11m)^2 - 1;$

г) $p^2 - (2p + 1)^2;$

д) $(5c - 3d)^2 - 9d^2;$

е) $a^4 - (9b + a^2)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех примеров используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Исходное выражение $(2b - 5)^2 - 36$. Представим $36$ как $6^2$. Получим выражение $(2b - 5)^2 - 6^2$, которое является разностью квадратов. Применим формулу, где $a = 2b - 5$ и $b = 6$.
$(2b - 5)^2 - 6^2 = ((2b - 5) - 6)((2b - 5) + 6)$.
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $2b - 5 - 6 = 2b - 11$.
Вторая скобка: $2b - 5 + 6 = 2b + 1$.
Результат: $(2b - 11)(2b + 1)$.
Ответ: $(2b - 11)(2b + 1)$.

б) Исходное выражение $9 - (7 + 3a)^2$. Представим $9$ как $3^2$. Получим выражение $3^2 - (7 + 3a)^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = 3$ и $b = 7 + 3a$.
$3^2 - (7 + 3a)^2 = (3 - (7 + 3a))(3 + (7 + 3a))$.
Раскроем внутренние скобки и упростим:
Первая скобка: $3 - 7 - 3a = -4 - 3a = -(4 + 3a)$.
Вторая скобка: $3 + 7 + 3a = 10 + 3a$.
Результат: $-(4 + 3a)(10 + 3a)$.
Ответ: $-(4 + 3a)(10 + 3a)$.

в) Исходное выражение $(4 - 11m)^2 - 1$. Представим $1$ как $1^2$. Получим $(4 - 11m)^2 - 1^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = 4 - 11m$ и $b = 1$.
$(4 - 11m)^2 - 1^2 = ((4 - 11m) - 1)((4 - 11m) + 1)$.
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $4 - 11m - 1 = 3 - 11m$.
Вторая скобка: $4 - 11m + 1 = 5 - 11m$.
Результат: $(3 - 11m)(5 - 11m)$.
Ответ: $(3 - 11m)(5 - 11m)$.

г) Исходное выражение $p^2 - (2p + 1)^2$. Это разность квадратов, где $a = p$ и $b = 2p + 1$.
$p^2 - (2p + 1)^2 = (p - (2p + 1))(p + (2p + 1))$.
Раскроем скобки и упростим:
Первая скобка: $p - 2p - 1 = -p - 1 = -(p + 1)$.
Вторая скобка: $p + 2p + 1 = 3p + 1$.
Результат: $-(p + 1)(3p + 1)$.
Ответ: $-(p + 1)(3p + 1)$.

д) Исходное выражение $(5c - 3d)^2 - 9d^2$. Представим $9d^2$ как $(3d)^2$. Получим $(5c - 3d)^2 - (3d)^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = 5c - 3d$ и $b = 3d$.
$(5c - 3d)^2 - (3d)^2 = ((5c - 3d) - 3d)((5c - 3d) + 3d)$.
Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $5c - 3d - 3d = 5c - 6d$.
Вторая скобка: $5c - 3d + 3d = 5c$.
Результат: $5c(5c - 6d)$.
Ответ: $5c(5c - 6d)$.

е) Исходное выражение $a^4 - (9b + a^2)^2$. Представим $a^4$ как $(a^2)^2$. Получим $(a^2)^2 - (9b + a^2)^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = a^2$ и $b = 9b + a^2$.
$(a^2)^2 - (9b + a^2)^2 = (a^2 - (9b + a^2))(a^2 + (9b + a^2))$.
Раскроем скобки и упростим:
Первая скобка: $a^2 - 9b - a^2 = -9b$.
Вторая скобка: $a^2 + 9b + a^2 = 2a^2 + 9b$.
Результат: $-9b(2a^2 + 9b)$.
Ответ: $-9b(2a^2 + 9b)$.