Номер 902, страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 902, страница 180.

Условие.

902. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) $0,25x^2 - 0,6xy + 0,3y^2$;

б) $-a^2 + 0,6a - 0,09$;

в) $\frac{9}{16} a^4 + a^3 + \frac{4}{9} a^2$;

г) $-16m^2 - 24mn - 9n^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) В данном выражении, вероятно, допущена опечатка, так как многочлен $0,25x^2 - 0,6xy + 0,3y^2$ не является полным квадратом. Чтобы многочлен был полным квадратом, удвоенное произведение корней из первого и третьего членов должно быть равно второму члену. Для $0,3y^2$ это условие не выполняется. Если предположить, что третий член равен $0,36y^2$, то условие полного квадрата выполняется: $2 \cdot \sqrt{0,25x^2} \cdot \sqrt{0,36y^2} = 2 \cdot 0,5x \cdot 0,6y = 0,6xy$.
Решим задачу для исправленного выражения: $0,25x^2 - 0,6xy + 0,36y^2$.
Воспользуемся формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$ для нашего выражения:
$A^2 = 0,25x^2$, откуда $A = 0,5x$.
$B^2 = 0,36y^2$, откуда $B = 0,6y$.
Средний член $2AB = 2 \cdot 0,5x \cdot 0,6y = 0,6xy$ соответствует заданному (с учетом знака).
Таким образом, $0,25x^2 - 0,6xy + 0,36y^2 = (0,5x - 0,6y)^2$.
Ответ: Для исходного выражения представить его в требуемом виде невозможно. Для исправленного выражения ответ: $(0,5x - 0,6y)^2$.

б) Для многочлена $-a^2 + 0,6a - 0,09$ сначала вынесем знак минус за скобки:
$-a^2 + 0,6a - 0,09 = -(a^2 - 0,6a + 0,09)$.
Теперь проанализируем выражение в скобках, используя формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$:
$A^2 = a^2$, откуда $A=a$.
$B^2 = 0,09$, откуда $B=0,3$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot a \cdot 0,3 = 0,6a$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности.
$a^2 - 0,6a + 0,09 = (a - 0,3)^2$.
Следовательно, исходный многочлен можно записать как выражение, противоположное квадрату двучлена.
Ответ: $-(a - 0,3)^2$.

в) Рассмотрим многочлен $\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{4}{9}a^2$.
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$ для нашего выражения:
$A^2 = \frac{9}{16}a^4$, откуда $A = \frac{3}{4}a^2$.
$B^2 = \frac{4}{9}a^2$, откуда $B = \frac{2}{3}a$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot (\frac{3}{4}a^2) \cdot (\frac{2}{3}a) = 2 \cdot \frac{6}{12}a^3 = a^3$.
Все члены соответствуют формуле, следовательно, многочлен является полным квадратом суммы.
$\frac{9}{16}a^4 + a^3 + \frac{4}{9}a^2 = (\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}a)^2$.
Ответ: $(\frac{3}{4}a^2 + \frac{2}{3}a)^2$.

г) Для многочлена $-16m^2 - 24mn - 9n^2$ все члены отрицательны. Вынесем знак минус за скобки:
$-16m^2 - 24mn - 9n^2 = -(16m^2 + 24mn + 9n^2)$.
Теперь преобразуем выражение в скобках, используя формулу квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$:
$A^2 = 16m^2$, откуда $A=4m$.
$B^2 = 9n^2$, откуда $B=3n$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot 4m \cdot 3n = 24mn$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы.
$16m^2 + 24mn + 9n^2 = (4m + 3n)^2$.
Следовательно, исходный многочлен можно записать как выражение, противоположное квадрату двучлена.
Ответ: $-(4m + 3n)^2$.