Номер 908, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Разложение на множители суммы и разности кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 908, страница 181.

Условие.

908. Разложите на множители:

а) $8 - m^3;$

б) $c^3 + 27;$

в) $64x^3 + 1;$

г) $1 - \frac{1}{8}p^3;$

д) $m^3 - 27n^3;$

е) $\frac{1}{8}a^3 + b^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $8 - m^3$

Для разложения данного выражения на множители воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Сначала представим число $8$ как куб числа $2$, то есть $8 = 2^3$.

Теперь выражение принимает вид: $2^3 - m^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = 2$ и $b = m$:

$2^3 - m^3 = (2 - m)(2^2 + 2 \cdot m + m^2) = (2 - m)(4 + 2m + m^2)$.

Ответ: $(2 - m)(4 + 2m + m^2)$.

б) $c^3 + 27$

Для разложения данного выражения на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим число $27$ как куб числа $3$, то есть $27 = 3^3$.

Теперь выражение принимает вид: $c^3 + 3^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = c$ и $b = 3$:

$c^3 + 3^3 = (c + 3)(c^2 - c \cdot 3 + 3^2) = (c + 3)(c^2 - 3c + 9)$.

Ответ: $(c + 3)(c^2 - 3c + 9)$.

в) $64x^3 + 1$

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим $64x^3$ как $(4x)^3$ и $1$ как $1^3$. Выражение примет вид $(4x)^3 + 1^3$.

Применим формулу, где $a = 4x$ и $b = 1$:

$(4x)^3 + 1^3 = (4x + 1)((4x)^2 - 4x \cdot 1 + 1^2) = (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.

Ответ: $(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.

г) $1 - \frac{1}{8}p^3$

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим $1$ как $1^3$ и $\frac{1}{8}p^3$ как $(\frac{1}{2}p)^3$. Выражение примет вид $1^3 - (\frac{1}{2}p)^3$.

Применим формулу, где $a = 1$ и $b = \frac{1}{2}p$:

$1^3 - (\frac{1}{2}p)^3 = (1 - \frac{1}{2}p)(1^2 + 1 \cdot \frac{1}{2}p + (\frac{1}{2}p)^2) = (1 - \frac{1}{2}p)(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2)$.

Ответ: $(1 - \frac{1}{2}p)(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2)$.

д) $m^3 - 27n^3$

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим $27n^3$ как $(3n)^3$. Выражение примет вид $m^3 - (3n)^3$.

Применим формулу, где $a = m$ и $b = 3n$:

$m^3 - (3n)^3 = (m - 3n)(m^2 + m \cdot 3n + (3n)^2) = (m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2)$.

Ответ: $(m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2)$.

е) $\frac{1}{8}a^3 + b^3$

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим $\frac{1}{8}a^3$ как $(\frac{1}{2}a)^3$. Выражение примет вид $(\frac{1}{2}a)^3 + b^3$.

Применим формулу, где в качестве $a$ выступает $\frac{1}{2}a$, а в качестве $b$ выступает $b$:

$(\frac{1}{2}a)^3 + b^3 = (\frac{1}{2}a + b)((\frac{1}{2}a)^2 - \frac{1}{2}a \cdot b + b^2) = (\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.