Номер 912, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Разложение на множители суммы и разности кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 912, страница 182.

Условие.

912. Представьте в виде произведения:

а) $a^3b^3 - 1;$

б) $1 + x^3y^3;$

в) $8 - a^3c^3;$

г) $m^3n^3 + 27;$

д) $x^6y^3 - c^3;$

е) $a^3 - m^3n^9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Разность кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$
• Сумма кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

а) $a^3b^3 - 1$

Представим данное выражение в виде разности кубов. Используем свойство степени $(xy)^n = x^ny^n$, тогда $a^3b^3 = (ab)^3$. Число 1 можно представить как $1^3$.

Получаем выражение: $(ab)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A$ в формуле соответствует $ab$, а $B$ в формуле соответствует $1$.

$(ab)^3 - 1^3 = (ab - 1)((ab)^2 + ab \cdot 1 + 1^2) = (ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

Ответ: $(ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$

б) $1 + x^3y^3$

Представим данное выражение в виде суммы кубов. $1 = 1^3$ и $x^3y^3 = (xy)^3$.

Получаем выражение: $1^3 + (xy)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $A$ в формуле соответствует $1$, а $B$ в формуле соответствует $xy$.

$1^3 + (xy)^3 = (1 + xy)(1^2 - 1 \cdot xy + (xy)^2) = (1 + xy)(1 - xy + x^2y^2)$.

Ответ: $(1 + xy)(1 - xy + x^2y^2)$

в) $8 - a^3c^3$

Представим данное выражение в виде разности кубов. Число 8 можно представить как $2^3$, а $a^3c^3$ как $(ac)^3$.

Получаем выражение: $2^3 - (ac)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A$ в формуле соответствует $2$, а $B$ в формуле соответствует $ac$.

$2^3 - (ac)^3 = (2 - ac)(2^2 + 2 \cdot ac + (ac)^2) = (2 - ac)(4 + 2ac + a^2c^2)$.

Ответ: $(2 - ac)(4 + 2ac + a^2c^2)$

г) $m^3n^3 + 27$

Представим данное выражение в виде суммы кубов. $m^3n^3 = (mn)^3$, а число 27 можно представить как $3^3$.

Получаем выражение: $(mn)^3 + 3^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $A$ в формуле соответствует $mn$, а $B$ в формуле соответствует $3$.

$(mn)^3 + 3^3 = (mn + 3)((mn)^2 - mn \cdot 3 + 3^2) = (mn + 3)(m^2n^2 - 3mn + 9)$.

Ответ: $(mn + 3)(m^2n^2 - 3mn + 9)$

д) $x^6y^3 - c^3$

Представим данное выражение в виде разности кубов. Для этого первый член $x^6y^3$ нужно представить в виде куба. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, тогда $x^6 = (x^2)^3$.

Следовательно, $x^6y^3 = (x^2)^3y^3 = (x^2y)^3$. Второй член $c^3$ уже является кубом.

Получаем выражение: $(x^2y)^3 - c^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A$ в формуле соответствует $x^2y$, а $B$ в формуле соответствует $c$.

$(x^2y)^3 - c^3 = (x^2y - c)((x^2y)^2 + x^2y \cdot c + c^2) = (x^2y - c)(x^4y^2 + x^2yc + c^2)$.

Ответ: $(x^2y - c)(x^4y^2 + x^2yc + c^2)$

е) $a^3 - m^3n^9$

Представим данное выражение в виде разности кубов. Первый член $a^3$ уже является кубом. Второй член $m^3n^9$ нужно представить в виде куба. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, тогда $n^9 = (n^3)^3$.

Следовательно, $m^3n^9 = m^3(n^3)^3 = (mn^3)^3$.

Получаем выражение: $a^3 - (mn^3)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A$ в формуле соответствует $a$, а $B$ в формуле соответствует $mn^3$.

$a^3 - (mn^3)^3 = (a - mn^3)(a^2 + a \cdot mn^3 + (mn^3)^2) = (a - mn^3)(a^2 + amn^3 + m^2n^6)$.

Ответ: $(a - mn^3)(a^2 + amn^3 + m^2n^6)$