Номер 1, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1, страница 182.

Условие.

1 Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы? Напишите соответствующую формулу и докажите её.

Формула

$ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $

Доказательство

$ (a-b)(a+b) = a(a+b) - b(a+b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2 $

Решение 1.

Решение 5.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Это одна из основных формул сокращённого умножения.

Формула
Пусть у нас есть два произвольных выражения, которые мы обозначим переменными $a$ и $b$. Тогда их разность будет $a - b$, а их сумма — $a + b$. Произведение их разности и суммы записывается следующей формулой, которая называется «разность квадратов»:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Доказательство
Чтобы доказать справедливость этой формулы, необходимо раскрыть скобки в её левой части. Для этого воспользуемся правилом умножения многочленов: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.
$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$
Теперь упростим полученное выражение. Учитывая, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$), мы можем записать:
$a^2 + ab - ab - b^2$
В этом выражении есть подобные слагаемые: $ab$ и $-ab$. Они являются противоположными, и их сумма равна нулю:
$ab - ab = 0$
После сокращения (взаимного уничтожения) этих членов мы получаем:
$a^2 - b^2$
Таким образом, мы преобразовали левую часть формулы $(a - b)(a + b)$ и получили её правую часть $a^2 - b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности их квадратов. Соответствующая формула: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.