Номер 916, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Разложение на множители суммы и разности кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 916, страница 182.

Условие.

916. Докажите, что равенство не является тождеством:

a) $x^4 + 4 = (x + 2)^2$;

б) $(x - 2)(2 + x) = 4 - x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение переменной, при котором левая и правая части равенства не равны. Такой пример называется контрпримером.

Рассмотрим равенство $x^4 + 4 = (x + 2)^2$.

Выберем простое значение для проверки, например, $x = 1$.

Подставим $x = 1$ в левую часть равенства:
$x^4 + 4 = 1^4 + 4 = 1 + 4 = 5$.

Теперь подставим $x = 1$ в правую часть равенства:
$(x + 2)^2 = (1 + 2)^2 = 3^2 = 9$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $5 \neq 9$.

Поскольку мы нашли значение $x$, при котором равенство не выполняется, это доказывает, что данное равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как, например, при $x=1$ оно превращается в неверное числовое равенство $5=9$.

б) Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, можно преобразовать одну из его частей и показать, что она не равна другой части для всех значений переменной.

Рассмотрим равенство $(x - 2)(2 + x) = 4 - x^2$.

Преобразуем левую часть. Заметим, что это выражение соответствует формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В выражении $(x-2)(2+x)$ можно поменять слагаемые во второй скобке: $(x-2)(x+2)$.

Применяя формулу разности квадратов, где $a=x$ и $b=2$, получаем:
$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Таким образом, исходное равенство можно переписать как:
$x^2 - 4 = 4 - x^2$.

Это равенство верно не для всех значений $x$. Чтобы это показать, подставим любое значение, например, $x = 1$.
Левая часть: $1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
Правая часть: $4 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.

Поскольку $-3 \neq 3$, равенство неверно. Это доказывает, что исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как его левая часть тождественно равна $x^2 - 4$, а правая $4 - x^2$, и равенство $x^2 - 4 = 4 - x^2$ выполняется не при любых значениях $x$.