Страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

910. Разложите на множители:

а) $c^3 + b^6$;

б) $a^9 - b^6$;

в) $x^6 - 8$;

г) $27 + y^9$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $c^3+b^6$, представим его в виде суммы кубов. Заметим, что $b^6$ можно записать как $(b^2)^3$. Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $c^3 + (b^2)^3$. Для разложения воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$. В нашем случае, $A=c$ и $B=b^2$. Подставим эти значения в формулу: $c^3 + (b^2)^3 = (c + b^2)(c^2 - c \cdot b^2 + (b^2)^2) = (c + b^2)(c^2 - cb^2 + b^4)$.
Ответ: $(c + b^2)(c^2 - cb^2 + b^4)$.

б) Для разложения на множители выражения $a^9-b^6$, представим его в виде разности кубов. Заметим, что $a^9 = (a^3)^3$ и $b^6 = (b^2)^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(a^3)^3 - (b^2)^3$. Воспользуемся формулой разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$. В данном случае, $A=a^3$ и $B=b^2$. Применяем формулу: $(a^3)^3 - (b^2)^3 = (a^3 - b^2)((a^3)^2 + a^3 \cdot b^2 + (b^2)^2) = (a^3 - b^2)(a^6 + a^3b^2 + b^4)$.
Ответ: $(a^3 - b^2)(a^6 + a^3b^2 + b^4)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $x^6-8$, представим его как разность кубов. Заметим, что $x^6 = (x^2)^3$ и $8 = 2^3$. Следовательно, выражение можно записать в виде $(x^2)^3 - 2^3$. Используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$. Здесь $A=x^2$ и $B=2$. Подставляем значения в формулу: $(x^2)^3 - 2^3 = (x^2 - 2)((x^2)^2 + x^2 \cdot 2 + 2^2) = (x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4)$.
Ответ: $(x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4)$.

г) Для разложения на множители выражения $27+y^9$, представим его как сумму кубов. Заметим, что $27 = 3^3$ и $y^9 = (y^3)^3$. Таким образом, выражение можно переписать как $3^3 + (y^3)^3$. Применим формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$. В нашем случае, $A=3$ и $B=y^3$. Подставляем значения в формулу: $3^3 + (y^3)^3 = (3 + y^3)(3^2 - 3 \cdot y^3 + (y^3)^2) = (3 + y^3)(9 - 3y^3 + y^6)$.
Ответ: $(3 + y^3)(9 - 3y^3 + y^6)$.

913. Докажите, что значение выражения:

а) $327^3 + 173^3$ делится на 500; в) $211^3 + 129^3$ делится на 17;

б) $731^3 - 631^3$ делится на 100; г) $356^3 - 245^3$ делится на 3.

а) Для доказательства используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $327^3 + 173^3$, где $a = 327$ и $b = 173$:
$327^3 + 173^3 = (327 + 173)(327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2)$.
Найдем значение первого множителя (суммы оснований):
$327 + 173 = 500$.
Таким образом, выражение можно представить в виде:
$500 \cdot (327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2)$.
Поскольку один из множителей равен 500, а второй множитель является целым числом, все произведение делится нацело на 500. Что и требовалось доказать.
Ответ: Значение выражения $327^3 + 173^3$ делится на 500.

б) Для доказательства используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $731^3 - 631^3$, где $a = 731$ и $b = 631$:
$731^3 - 631^3 = (731 - 631)(731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)$.
Найдем значение первого множителя (разности оснований):
$731 - 631 = 100$.
Таким образом, выражение можно представить в виде:
$100 \cdot (731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)$.
Поскольку один из множителей равен 100, а второй множитель является целым числом, все произведение делится нацело на 100. Что и требовалось доказать.
Ответ: Значение выражения $731^3 - 631^3$ делится на 100.

в) Для доказательства используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $211^3 + 129^3$, где $a = 211$ и $b = 129$:
$211^3 + 129^3 = (211 + 129)(211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2)$.
Найдем значение первого множителя (суммы оснований):
$211 + 129 = 340$.
Проверим, делится ли число 340 на 17:
$340 \div 17 = 20$.
Таким образом, выражение можно представить в виде:
$340 \cdot (211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2) = 17 \cdot 20 \cdot (211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2)$.
Поскольку в разложении произведения на множители есть число 17, все выражение делится нацело на 17. Что и требовалось доказать.
Ответ: Значение выражения $211^3 + 129^3$ делится на 17.

г) Для доказательства используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применим эту формулу к выражению $356^3 - 245^3$, где $a = 356$ и $b = 245$:
$356^3 - 245^3 = (356 - 245)(356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)$.
Найдем значение первого множителя (разности оснований):
$356 - 245 = 111$.
Проверим, делится ли число 111 на 3. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, что делится на 3. Следовательно, и само число 111 делится на 3.
$111 \div 3 = 37$.
Таким образом, выражение можно представить в виде:
$111 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2) = 3 \cdot 37 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)$.
Поскольку в разложении произведения на множители есть число 3, все выражение делится нацело на 3. Что и требовалось доказать.
Ответ: Значение выражения $356^3 - 245^3$ делится на 3.

916. Докажите, что равенство не является тождеством:

a) $x^4 + 4 = (x + 2)^2$;

б) $(x - 2)(2 + x) = 4 - x^2$.

а) Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение переменной, при котором левая и правая части равенства не равны. Такой пример называется контрпримером.

Рассмотрим равенство $x^4 + 4 = (x + 2)^2$.

Выберем простое значение для проверки, например, $x = 1$.

Подставим $x = 1$ в левую часть равенства:
$x^4 + 4 = 1^4 + 4 = 1 + 4 = 5$.

Теперь подставим $x = 1$ в правую часть равенства:
$(x + 2)^2 = (1 + 2)^2 = 3^2 = 9$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $5 \neq 9$.

Поскольку мы нашли значение $x$, при котором равенство не выполняется, это доказывает, что данное равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как, например, при $x=1$ оно превращается в неверное числовое равенство $5=9$.

б) Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, можно преобразовать одну из его частей и показать, что она не равна другой части для всех значений переменной.

Рассмотрим равенство $(x - 2)(2 + x) = 4 - x^2$.

Преобразуем левую часть. Заметим, что это выражение соответствует формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В выражении $(x-2)(2+x)$ можно поменять слагаемые во второй скобке: $(x-2)(x+2)$.

Применяя формулу разности квадратов, где $a=x$ и $b=2$, получаем:
$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Таким образом, исходное равенство можно переписать как:
$x^2 - 4 = 4 - x^2$.

Это равенство верно не для всех значений $x$. Чтобы это показать, подставим любое значение, например, $x = 1$.
Левая часть: $1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
Правая часть: $4 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.

Поскольку $-3 \neq 3$, равенство неверно. Это доказывает, что исходное равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как его левая часть тождественно равна $x^2 - 4$, а правая $4 - x^2$, и равенство $x^2 - 4 = 4 - x^2$ выполняется не при любых значениях $x$.

911. Запишите в виде произведения:

а) $-x^3 + y^3;$

б) $-8 - p^3;$

в) $-a^6 + \frac{1}{8};$

г) $-\frac{1}{27} - b^6;$

д) $c^6 + 1;$

е) $x^6 + y^6.$

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения, а именно сумма и разность кубов:

• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Для выражений со степенью 6, мы будем представлять их как куб выражения в квадрате, например, $x^6 = (x^2)^3$.

а)

Исходное выражение: $-x^3 + y^3$.

Переставим слагаемые местами, чтобы получить стандартный вид разности кубов: $y^3 - x^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = y$ и $b = x$.

Подставляем наши значения в формулу:

$y^3 - x^3 = (y - x)(y^2 + yx + x^2)$.

Ответ: $(y - x)(y^2 + xy + x^2)$

б)

Исходное выражение: $-8 - p^3$.

Вынесем знак минус за скобки: $-(8 + p^3)$.

Теперь разложим на множители выражение в скобках. Это сумма кубов, так как $8 = 2^3$.

$8 + p^3 = 2^3 + p^3$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 2$ и $b = p$.

$2^3 + p^3 = (2 + p)(2^2 - 2 \cdot p + p^2) = (2 + p)(4 - 2p + p^2)$.

Вернем знак минус и запишем конечный результат, упорядочив слагаемые в многочленах по убыванию степени переменной.

Ответ: $-(p + 2)(p^2 - 2p + 4)$

в)

Исходное выражение: $-a^6 + \frac{1}{8}$.

Переставим слагаемые: $\frac{1}{8} - a^6$.

Представим это выражение как разность кубов. Заметим, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ и $a^6 = (a^2)^3$.

Получаем: $(\frac{1}{2})^3 - (a^2)^3$.

Применяем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = \frac{1}{2}$ и $y = a^2$.

$(\frac{1}{2} - a^2)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot a^2 + (a^2)^2) = (\frac{1}{2} - a^2)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a^2 + a^4)$.

Упорядочим слагаемые во второй скобке по убыванию степени.

Ответ: $(\frac{1}{2} - a^2)(a^4 + \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{4})$

г)

Исходное выражение: $-\frac{1}{27} - b^6$.

Вынесем минус за скобки: $-(\frac{1}{27} + b^6)$.

Представим выражение в скобках как сумму кубов: $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ и $b^6 = (b^2)^3$.

Получаем: $(\frac{1}{3})^3 + (b^2)^3$.

Применяем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = \frac{1}{3}$ и $y = b^2$.

$(\frac{1}{3} + b^2)((\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} \cdot b^2 + (b^2)^2) = (\frac{1}{3} + b^2)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}b^2 + b^4)$.

Возвращаем знак минус и упорядочиваем слагаемые.

Ответ: $-(b^2 + \frac{1}{3})(b^4 - \frac{1}{3}b^2 + \frac{1}{9})$

д)

Исходное выражение: $c^6 + 1$.

Представим его как сумму кубов, заметив, что $c^6 = (c^2)^3$ и $1 = 1^3$.

Получаем: $(c^2)^3 + 1^3$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = c^2$ и $b = 1$.

$(c^2 + 1)((c^2)^2 - c^2 \cdot 1 + 1^2) = (c^2 + 1)(c^4 - c^2 + 1)$.

Ответ: $(c^2 + 1)(c^4 - c^2 + 1)$

е)

Исходное выражение: $x^6 + y^6$.

Представим его как сумму кубов: $x^6 = (x^2)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$.

Получаем: $(x^2)^3 + (y^2)^3$.

Применяем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = x^2$ и $b = y^2$.

$(x^2 + y^2)((x^2)^2 - x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$.

Ответ: $(x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$

914. Делится ли значение выражения:

a) $38^3 + 37^3$ на 75;

б) $99^3 - 74^3$ на 25?

а) Чтобы проверить, делится ли значение выражения $38^3 + 37^3$ на 75, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к данному выражению, где $a = 38$ и $b = 37$:

$38^3 + 37^3 = (38 + 37)(38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)$

Вычислим значение первого множителя в скобках:

$38 + 37 = 75$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$75 \cdot (38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)$

Поскольку один из множителей равен 75, а второй множитель, $(38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)$, является целым числом, то всё произведение делится на 75 нацело.

Ответ: да, делится.

б) Чтобы проверить, делится ли значение выражения $99^3 - 74^3$ на 25, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к данному выражению, где $a = 99$ и $b = 74$:

$99^3 - 74^3 = (99 - 74)(99^2 + 99 \cdot 74 + 74^2)$

Вычислим значение первого множителя в скобках:

$99 - 74 = 25$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$25 \cdot (99^2 + 99 \cdot 74 + 74^2)$

Поскольку один из множителей равен 25, а второй множитель, $(99^2 + 99 \cdot 74 + 74^2)$, является целым числом, то всё произведение делится на 25 нацело.

Ответ: да, делится.

917. Решите уравнение:

а) $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11;$

б) $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0.$

а) $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11$

Для решения уравнения раскроем скобки. Выражение $(2x - 3)^2$ — это квадрат разности, который раскрывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Второе выражение $-2x(4 + 2x)$ раскроем с помощью распределительного закона умножения.

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 - 2x \cdot 4 - 2x \cdot 2x = 11$

Выполним вычисления:

$4x^2 - 12x + 9 - 8x - 4x^2 = 11$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожаются, так как $4x^2 - 4x^2 = 0$.

$(4x^2 - 4x^2) + (-12x - 8x) + 9 = 11$

$-20x + 9 = 11$

Перенесем число $9$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-20x = 11 - 9$

$-20x = 2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-20$:

$x = \frac{2}{-20} = -\frac{1}{10} = -0.1$

Ответ: $-0.1$.

б) $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0$

Для решения уравнения раскроем скобки. Первое произведение $(4x - 3)(3 + 4x)$ можно представить как $(4x - 3)(4x + 3)$, что является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Второе выражение $-2x(8x - 1)$ раскроем с помощью распределительного закона умножения.

$(4x)^2 - 3^2 - (2x \cdot 8x - 2x \cdot 1) = 0$

Выполним вычисления:

$16x^2 - 9 - (16x^2 - 2x) = 0$

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$16x^2 - 9 - 16x^2 + 2x = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожаются, так как $16x^2 - 16x^2 = 0$.

$(16x^2 - 16x^2) + 2x - 9 = 0$

$2x - 9 = 0$

Перенесем число $-9$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$2x = 9$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $2$:

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$.

909. Запишите в виде произведения выражения:

a) $x^3 - y^6$;

б) $a^6 + b^3$;

в) $m^9 - n^3$;

г) $p^3 + k^9$;

д) $a^6 + b^9$;

е) $x^9 - y^9$.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения, а именно формулы суммы и разности кубов:
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

а) Представим выражение $x^3 - y^6$ в виде разности кубов. Для этого заметим, что $y^6$ можно записать как $(y^2)^3$. Таким образом, мы получаем выражение вида $A^3 - B^3$, где $A = x$ и $B = y^2$. Применим формулу разности кубов:
$x^3 - (y^2)^3 = (x - y^2)(x^2 + x \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x - y^2)(x^2 + xy^2 + y^4)$.
Ответ: $(x - y^2)(x^2 + xy^2 + y^4)$.

б) Представим выражение $a^6 + b^3$ в виде суммы кубов. Для этого заметим, что $a^6$ можно записать как $(a^2)^3$. Таким образом, мы получаем выражение вида $A^3 + B^3$, где $A = a^2$ и $B = b$. Применим формулу суммы кубов:
$(a^2)^3 + b^3 = (a^2 + b)((a^2)^2 - a^2 \cdot b + b^2) = (a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2)$.
Ответ: $(a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2)$.

в) Представим выражение $m^9 - n^3$ в виде разности кубов. Заметим, что $m^9 = (m^3)^3$. Получаем выражение вида $A^3 - B^3$, где $A = m^3$ и $B = n$. Применим формулу разности кубов:
$(m^3)^3 - n^3 = (m^3 - n)((m^3)^2 + m^3 \cdot n + n^2) = (m^3 - n)(m^6 + m^3n + n^2)$.
Ответ: $(m^3 - n)(m^6 + m^3n + n^2)$.

г) Представим выражение $p^3 + k^9$ в виде суммы кубов. Заметим, что $k^9 = (k^3)^3$. Получаем выражение вида $A^3 + B^3$, где $A = p$ и $B = k^3$. Применим формулу суммы кубов:
$p^3 + (k^3)^3 = (p + k^3)(p^2 - p \cdot k^3 + (k^3)^2) = (p + k^3)(p^2 - pk^3 + k^6)$.
Ответ: $(p + k^3)(p^2 - pk^3 + k^6)$.

д) Представим выражение $a^6 + b^9$ в виде суммы кубов. Заметим, что $a^6 = (a^2)^3$ и $b^9 = (b^3)^3$. Получаем выражение вида $A^3 + B^3$, где $A = a^2$ и $B = b^3$. Применим формулу суммы кубов:
$(a^2)^3 + (b^3)^3 = (a^2 + b^3)((a^2)^2 - a^2 \cdot b^3 + (b^3)^2) = (a^2 + b^3)(a^4 - a^2b^3 + b^6)$.
Ответ: $(a^2 + b^3)(a^4 - a^2b^3 + b^6)$.

е) Представим выражение $x^9 - y^9$ в виде разности кубов. Заметим, что $x^9 = (x^3)^3$ и $y^9 = (y^3)^3$. Получаем выражение вида $A^3 - B^3$, где $A = x^3$ и $B = y^3$. Применим формулу разности кубов:
$(x^3)^3 - (y^3)^3 = (x^3 - y^3)((x^3)^2 + x^3y^3 + (y^3)^2) = (x^3 - y^3)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.
Обратим внимание, что первый множитель $(x^3 - y^3)$ также является разностью кубов и может быть разложен дальше. Применим к нему ту же формулу:
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Подставим это разложение в наше выражение, чтобы получить окончательный ответ:
$(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.
Ответ: $(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.

912. Представьте в виде произведения:

а) $a^3b^3 - 1;$

б) $1 + x^3y^3;$

в) $8 - a^3c^3;$

г) $m^3n^3 + 27;$

д) $x^6y^3 - c^3;$

е) $a^3 - m^3n^9.$

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Разность кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$
• Сумма кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

а) $a^3b^3 - 1$

Представим данное выражение в виде разности кубов. Используем свойство степени $(xy)^n = x^ny^n$, тогда $a^3b^3 = (ab)^3$. Число 1 можно представить как $1^3$.

Получаем выражение: $(ab)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A$ в формуле соответствует $ab$, а $B$ в формуле соответствует $1$.

$(ab)^3 - 1^3 = (ab - 1)((ab)^2 + ab \cdot 1 + 1^2) = (ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

Ответ: $(ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$

б) $1 + x^3y^3$

Представим данное выражение в виде суммы кубов. $1 = 1^3$ и $x^3y^3 = (xy)^3$.

Получаем выражение: $1^3 + (xy)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $A$ в формуле соответствует $1$, а $B$ в формуле соответствует $xy$.

$1^3 + (xy)^3 = (1 + xy)(1^2 - 1 \cdot xy + (xy)^2) = (1 + xy)(1 - xy + x^2y^2)$.

Ответ: $(1 + xy)(1 - xy + x^2y^2)$

в) $8 - a^3c^3$

Представим данное выражение в виде разности кубов. Число 8 можно представить как $2^3$, а $a^3c^3$ как $(ac)^3$.

Получаем выражение: $2^3 - (ac)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A$ в формуле соответствует $2$, а $B$ в формуле соответствует $ac$.

$2^3 - (ac)^3 = (2 - ac)(2^2 + 2 \cdot ac + (ac)^2) = (2 - ac)(4 + 2ac + a^2c^2)$.

Ответ: $(2 - ac)(4 + 2ac + a^2c^2)$

г) $m^3n^3 + 27$

Представим данное выражение в виде суммы кубов. $m^3n^3 = (mn)^3$, а число 27 можно представить как $3^3$.

Получаем выражение: $(mn)^3 + 3^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $A$ в формуле соответствует $mn$, а $B$ в формуле соответствует $3$.

$(mn)^3 + 3^3 = (mn + 3)((mn)^2 - mn \cdot 3 + 3^2) = (mn + 3)(m^2n^2 - 3mn + 9)$.

Ответ: $(mn + 3)(m^2n^2 - 3mn + 9)$

д) $x^6y^3 - c^3$

Представим данное выражение в виде разности кубов. Для этого первый член $x^6y^3$ нужно представить в виде куба. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, тогда $x^6 = (x^2)^3$.

Следовательно, $x^6y^3 = (x^2)^3y^3 = (x^2y)^3$. Второй член $c^3$ уже является кубом.

Получаем выражение: $(x^2y)^3 - c^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A$ в формуле соответствует $x^2y$, а $B$ в формуле соответствует $c$.

$(x^2y)^3 - c^3 = (x^2y - c)((x^2y)^2 + x^2y \cdot c + c^2) = (x^2y - c)(x^4y^2 + x^2yc + c^2)$.

Ответ: $(x^2y - c)(x^4y^2 + x^2yc + c^2)$

е) $a^3 - m^3n^9$

Представим данное выражение в виде разности кубов. Первый член $a^3$ уже является кубом. Второй член $m^3n^9$ нужно представить в виде куба. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, тогда $n^9 = (n^3)^3$.

Следовательно, $m^3n^9 = m^3(n^3)^3 = (mn^3)^3$.

Получаем выражение: $a^3 - (mn^3)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A$ в формуле соответствует $a$, а $B$ в формуле соответствует $mn^3$.

$a^3 - (mn^3)^3 = (a - mn^3)(a^2 + a \cdot mn^3 + (mn^3)^2) = (a - mn^3)(a^2 + amn^3 + m^2n^6)$.

Ответ: $(a - mn^3)(a^2 + amn^3 + m^2n^6)$

915. Представьте в виде многочлена:

a) $(11c^2 + a^3)(-a^3 + 11c^2);$

б) $(0,8x + y^4)(-0,8x - y^4);$

в) $(0,3c - 0,2d)(0,2d - 0,3c);$

г) $(6x^3 - 4x)(-6x^3 - 4x).$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения — разностью квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Сначала преобразуем исходное выражение, поменяв местами слагаемые во второй скобке, чтобы привести его к стандартному виду формулы:
$(11c^2 + a^3)(-a^3 + 11c^2) = (11c^2 + a^3)(11c^2 - a^3)$
Теперь, когда выражение соответствует формуле, подставим в нее наши значения, где в качестве $a$ выступает $11c^2$, а в качестве $b$ — $a^3$:
$(11c^2)^2 - (a^3)^2 = 121c^4 - a^6$
Ответ: $121c^4 - a^6$

б) В данном выражении вынесем общий множитель $-1$ из второй скобки:
$(0,8x + y^4)(-0,8x - y^4) = (0,8x + y^4) \cdot (-1) \cdot (0,8x + y^4) = -(0,8x + y^4)^2$
Теперь мы можем использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 0,8x$ и $b = y^4$:
$-((0,8x)^2 + 2 \cdot (0,8x) \cdot y^4 + (y^4)^2) = -(0,64x^2 + 1,6xy^4 + y^8)$
Далее раскроем скобки, изменив знак каждого слагаемого на противоположный:
$-0,64x^2 - 1,6xy^4 - y^8$
Ответ: $-0,64x^2 - 1,6xy^4 - y^8$

в) Заметим, что вторая скобка является противоположностью первой. Вынесем $-1$ за скобки во втором множителе:
$(0,3c - 0,2d)(0,2d - 0,3c) = (0,3c - 0,2d) \cdot (-1) \cdot (-0,2d + 0,3c) = -(0,3c - 0,2d)(0,3c - 0,2d) = -(0,3c - 0,2d)^2$
Теперь применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 0,3c$ и $b = 0,2d$:
$-((0,3c)^2 - 2 \cdot (0,3c) \cdot (0,2d) + (0,2d)^2) = -(0,09c^2 - 0,12cd + 0,04d^2)$
Наконец, раскроем скобки, поменяв знаки всех членов многочлена:
$-0,09c^2 + 0,12cd - 0,04d^2$
Ответ: $-0,09c^2 + 0,12cd - 0,04d^2$

г) Для удобства решения поменяем местами слагаемые в обеих скобках:
$(6x^3 - 4x)(-6x^3 - 4x) = (-4x + 6x^3)(-4x - 6x^3)$
Теперь выражение имеет вид формулы разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = -4x$ и $b = 6x^3$:
$(-4x)^2 - (6x^3)^2$
Возведем каждый член в квадрат:
$16x^2 - 36x^6$
Ответ: $16x^2 - 36x^6$

2. Чему равна разность квадратов двух выражений? Напишите соответствующую формулу.

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Чему равна разность квадратов двух выражений?

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Это тождество является одной из фундаментальных формул сокращённого умножения в алгебре и используется для упрощения выражений и разложения многочленов на множители.

Ответ: Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.

Напишите соответствующую формулу.

Если мы обозначим два произвольных выражения как a и b, то разность их квадратов будет записываться как $a^2 - b^2$. Соответствующая формула, которая выражает это правило, выглядит следующим образом:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Данная формула верна для любых выражений a и b. Её можно доказать, раскрыв скобки в правой части равенства (умножив многочлен на многочлен):

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$

Поскольку результат умножения $(a - b)(a + b)$ равен $a^2 - b^2$, формула доказана.

Ответ: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

5. Разложите на множители многочлен $16t^2-1$; $p^3+8$; $m^3-27$.

$16t^2 - 1$

Для разложения этого многочлена на множители используется формула сокращенного умножения, а именно формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала представим каждый член данного двучлена в виде квадрата.
Первый член: $16t^2 = (4t)^2$.
Второй член: $1 = 1^2$.

Таким образом, выражение $16t^2 - 1$ можно переписать в виде $(4t)^2 - 1^2$. В этом случае, согласно формуле, $a = 4t$ и $b = 1$.

Теперь применим формулу разности квадратов:
$(4t)^2 - 1^2 = (4t - 1)(4t + 1)$.

Ответ: $(4t - 1)(4t + 1)$.

$p^3 + 8$

Этот многочлен раскладывается на множители с помощью формулы суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждый член двучлена в виде куба.
Первый член: $p^3$ уже является кубом переменной $p$.
Второй член: $8$ является кубом числа $2$, то есть $8 = 2^3$.

Следовательно, выражение $p^3 + 8$ можно записать как $p^3 + 2^3$. В этом случае, по формуле, $a = p$ и $b = 2$.

Применяя формулу суммы кубов и подставляя наши значения, получаем:
$p^3 + 2^3 = (p + 2)(p^2 - p \cdot 2 + 2^2) = (p + 2)(p^2 - 2p + 4)$.

Ответ: $(p + 2)(p^2 - 2p + 4)$.

$m^3 - 27$

Для разложения этого многочлена на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим каждый член двучлена в виде куба.
Первый член: $m^3$ уже является кубом переменной $m$.
Второй член: $27$ является кубом числа $3$, то есть $27 = 3^3$.

Следовательно, выражение $m^3 - 27$ можно записать как $m^3 - 3^3$. В этом случае, по формуле, $a = m$ и $b = 3$.

Применяя формулу разности кубов и подставляя наши значения, получаем:
$m^3 - 3^3 = (m - 3)(m^2 + m \cdot 3 + 3^2) = (m - 3)(m^2 + 3m + 9)$.

Ответ: $(m - 3)(m^2 + 3m + 9)$.

3 Напишите формулу суммы кубов. Проведите доказательство.

Формула суммы кубов

Формула суммы кубов — это тождество, которое используется для разложения на множители суммы двух кубов. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

В общем виде формула записывается так:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Здесь $a$ и $b$ могут быть любыми числами или математическими выражениями. Выражение $a^2 - ab + b^2$ называется неполным квадратом разности, так как полный квадрат разности выглядел бы как $a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Доказательство

Для доказательства тождества необходимо показать, что правая часть формулы равна левой. Мы сделаем это, раскрыв скобки в правой части выражения $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ путем умножения многочлена на многочлен.

1. Умножим каждый член первого многочлена $(a+b)$ на второй многочлен $(a^2 - ab + b^2)$:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2)$

2. Раскроем скобки, умножая $a$ и $b$ на каждый член во второй скобке:

$= (a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2) + (b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2)$

$= (a^3 - a^2b + ab^2) + (a^2b - ab^2 + b^3)$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= a^3 - a^2b + a^2b + ab^2 - ab^2 + b^3$

Как мы видим, члены $-a^2b$ и $+a^2b$ взаимно уничтожаются (их сумма равна нулю), так же как и члены $+ab^2$ и $-ab^2$.

$= a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

В результате мы получили выражение $a^3 + b^3$, которое в точности совпадает с левой частью исходной формулы. Это доказывает, что равенство является тождеством.

Ответ: Доказательство выполнено путем преобразования правой части формулы $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ в левую часть $a^3 + b^3$ через раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, что подтверждает верность тождества.

1 Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы? Напишите соответствующую формулу и докажите её.

Формула

$ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $

Доказательство

$ (a-b)(a+b) = a(a+b) - b(a+b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2 $

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Это одна из основных формул сокращённого умножения.

Формула
Пусть у нас есть два произвольных выражения, которые мы обозначим переменными $a$ и $b$. Тогда их разность будет $a - b$, а их сумма — $a + b$. Произведение их разности и суммы записывается следующей формулой, которая называется «разность квадратов»:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Доказательство
Чтобы доказать справедливость этой формулы, необходимо раскрыть скобки в её левой части. Для этого воспользуемся правилом умножения многочленов: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.
$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$
Теперь упростим полученное выражение. Учитывая, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$), мы можем записать:
$a^2 + ab - ab - b^2$
В этом выражении есть подобные слагаемые: $ab$ и $-ab$. Они являются противоположными, и их сумма равна нулю:
$ab - ab = 0$
После сокращения (взаимного уничтожения) этих членов мы получаем:
$a^2 - b^2$
Таким образом, мы преобразовали левую часть формулы $(a - b)(a + b)$ и получили её правую часть $a^2 - b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности их квадратов. Соответствующая формула: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

4. Напишите формулу разности кубов. Проведите доказательство.

Напишите формулу разности кубов

Формула разности кубов — это одна из формул сокращенного умножения, которая позволяет разложить на множители разность кубов двух выражений. Для любых выражений $a$ и $b$ формула выглядит следующим образом:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Словесно это тождество можно сформулировать так: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Проведите доказательство

Для того чтобы доказать справедливость формулы разности кубов, необходимо показать, что ее правая часть тождественно равна левой. Для этого мы преобразуем правую часть, выполнив умножение многочленов.

Возьмем правую часть формулы: $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена $(a - b)$ на второй многочлен $(a^2 + ab + b^2)$:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2)$

Теперь выполним умножение каждого члена на многочлен в скобках:

$= (a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2) - (b \cdot a^2 + b \cdot ab + b \cdot b^2)$

$= (a^3 + a^2b + ab^2) - (a^2b + ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки всех членов внутри них на противоположные:

$= a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3$

Подобные члены взаимно уничтожаются:

$= a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть формулы: $a^3 - b^3$. Тождество доказано.

Ответ: Доказательство основано на раскрытии скобок в произведении $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$. После выполнения умножения и приведения подобных слагаемых $(a^2b \text{ и } -a^2b, ab^2 \text{ и } -ab^2)$ итоговое выражение равно $a^3 - b^3$, что и требовалось доказать.