Страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

950. Решите уравнение:

а) $x^3 + x = 0$;

б) $x^3 - 2x^2 = 0$.

а) $x^3 + x = 0$
Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда следует совокупность двух уравнений:
1) $x = 0$
2) $x^2 + 1 = 0$
Рассмотрим второе уравнение: $x^2 = -1$.
Это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$).
Таким образом, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x = 0$.
Ответ: $0$.

б) $x^3 - 2x^2 = 0$
Для решения этого уравнения вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два возможных случая:
1) $x^2 = 0$, откуда следует, что $x = 0$.
2) $x - 2 = 0$, откуда следует, что $x = 2$.
Следовательно, уравнение имеет два корня: $0$ и $2$.
Ответ: $0; 2$.

953. Докажите, что если к произведению трёх последовательных целых чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.

Пусть три последовательных целых числа представлены в виде $n-1$, $n$, и $n+1$, где $n$ — среднее из этих чисел, являющееся целым числом.

Сначала найдем произведение этих трёх чисел:

$P = (n-1) \cdot n \cdot (n+1)$

Чтобы упростить это выражение, сгруппируем первый и третий множители и применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$P = n \cdot ((n-1)(n+1)) = n \cdot (n^2 - 1^2) = n(n^2 - 1)$

Раскрыв скобки, получим:

$P = n^3 - n$

Теперь, согласно условию задачи, к этому произведению необходимо прибавить среднее из трёх чисел, то есть $n$. Обозначим искомую сумму как $S$:

$S = P + n = (n^3 - n) + n$

Упростим полученное выражение:

$S = n^3 - n + n = n^3$

Результат $n^3$ является кубом среднего числа $n$. Таким образом, мы доказали, что если к произведению трёх последовательных целых чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.

Ответ: Утверждение доказано.

956. Покажите, как примерно расположен в координатной плоскости график функции:

а) $y = -0,9x + 4;$

б) $y = 2,3x;$

в) $y = \frac{x}{10};$

г) $y = -9;$

д) $y = -9,5;$

е) $y = 4\frac{1}{3}.$

Для определения примерного расположения графика функции вида $y = kx + b$ в координатной плоскости, необходимо проанализировать значения коэффициента $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член).

• Если $k > 0$, функция возрастает, и ее график (прямая) образует острый угол с положительным направлением оси Ox.
• Если $k < 0$, функция убывает, и ее график образует тупой угол с положительным направлением оси Ox.
• Если $k = 0$, то функция имеет вид $y = b$, и ее график — прямая, параллельная оси Ox.
• Коэффициент $b$ показывает точку пересечения графика с осью Oy, координаты этой точки $(0, b)$.

а) $y = -0,9x + 4$

Это линейная функция вида $y = kx + b$.

Здесь угловой коэффициент $k = -0,9$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. График — прямая, которая наклонена вниз при движении слева направо.

Свободный член $b = 4$. Это означает, что график пересекает ось ординат (ось Oy) в точке с координатами $(0, 4)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox), приравняв $y$ к нулю: $0 = -0,9x + 4$, откуда $0,9x = 4$, и $x = \frac{4}{0,9} = \frac{40}{9} \approx 4,44$. Точка пересечения с осью Ox — $(\frac{40}{9}, 0)$.

Таким образом, прямая проходит через точку $(0, 4)$ на положительной части оси Oy и через точку $(\frac{40}{9}, 0)$ на положительной части оси Ox. Следовательно, график расположен в I, II и IV координатных четвертях.

Ответ: График — прямая, проходящая через I, II и IV координатные четверти. Она пересекает ось Oy в точке $(0, 4)$ и ось Ox в точке $(\frac{40}{9}, 0)$, является убывающей.

б) $y = 2,3x$

Это линейная функция вида $y = kx$ (прямая пропорциональность).

Здесь угловой коэффициент $k = 2,3$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей. График — прямая, которая наклонена вверх при движении слева направо.

Свободный член $b = 0$, поэтому график проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.

Поскольку прямая проходит через начало координат и является возрастающей, она расположена в I и III координатных четвертях.

Ответ: График — прямая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III координатных четвертях. Функция является возрастающей.

в) $y = \frac{x}{10}$

Эту функцию можно переписать в виде $y = 0,1x$. Это также прямая пропорциональность.

Угловой коэффициент $k = 0,1$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

Свободный член $b = 0$, поэтому график проходит через начало координат $(0, 0)$.

Угол наклона этой прямой к оси Ox меньше, чем у прямой $y = 2,3x$, так как $0,1 < 2,3$. График будет более пологим.

Ответ: График — прямая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III координатных четвертях. Функция является возрастающей, график более пологий, чем в пункте б).

г) $y = -9$

Это функция вида $y = b$, где $k = 0$.

Графиком такой функции является прямая, параллельная оси Ox.

Прямая проходит через точку $(0, -9)$ на оси Oy.

Поскольку все точки этой прямой имеют ординату -9 (отрицательное число), график целиком расположен ниже оси Ox, в III и IV координатных четвертях.

Ответ: График — прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, -9)$ и расположенная в III и IV координатных четвертях.

д) $y = -9,5$

Это функция вида $y = b$, где $k = 0$.

Графиком является прямая, параллельная оси Ox.

Прямая проходит через точку $(0, -9,5)$ на оси Oy.

График целиком расположен ниже оси Ox, в III и IV координатных четвертях. Он находится ниже графика функции $y = -9$.

Ответ: График — прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, -9,5)$ и расположенная в III и IV координатных четвертях.

е) $y = 4\frac{1}{3}$

Это функция вида $y = b$, где $k = 0$.

Графиком является прямая, параллельная оси Ox.

Прямая проходит через точку $(0, 4\frac{1}{3})$ на оси Oy.

Поскольку ордината $4\frac{1}{3}$ положительна, график целиком расположен выше оси Ox, в I и II координатных четвертях.

Ответ: График — прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку $(0, 4\frac{1}{3})$ и расположенная в I и II координатных четвертях.

948. (Для работы в парах.) Используя калькулятор, найдите значение многочлена $3,5x^3 - 2,1x^2 + 1,9x - 16,7$ при $x = 3,7$.

1) Пусть один из вас вычислит с помощью калькулятора сначала значения каждого члена многочлена, затем значение многочлена, а другой выполнит преобразование многочлена по образцу, предложенному в примере 4 на с. 187, затем сделает вычисления с помощью калькулятора.

2) Отметьте затрату времени на выполнение задания в каждом случае.

3) Сравните полученные результаты и время, затраченное на решение задачи.

Для нахождения значения многочлена $3,5x^3 - 2,1x^2 + 1,9x - 16,7$ при $x = 3,7$ используем два разных подхода, как предложено в задании.

Выполним вычисления двумя способами.

Способ 1: Прямое вычисление каждого члена многочлена.

Сначала вычислим степени $x$ при $x = 3,7$:

$x^2 = 3,7^2 = 13,69$

$x^3 = 3,7^3 = 3,7 \cdot 13,69 = 50,653$

Теперь вычислим значение каждого члена многочлена и подставим полученные значения:

• $3,5x^3 = 3,5 \cdot 50,653 = 177,2855$
• $-2,1x^2 = -2,1 \cdot 13,69 = -28,749$
• $1,9x = 1,9 \cdot 3,7 = 7,03$
• $-16,7$

Сложим полученные значения, чтобы найти значение всего многочлена:

$177,2855 - 28,749 + 7,03 - 16,7 = 138,8665$

Способ 2: Преобразование многочлена по схеме Горнера.

Сначала преобразуем многочлен, последовательно вынося $x$ за скобки:

$3,5x^3 - 2,1x^2 + 1,9x - 16,7 = (3,5x^2 - 2,1x + 1,9)x - 16,7 = ((3,5x - 2,1)x + 1,9)x - 16,7$

Теперь выполним вычисления в соответствии с порядком действий в полученном выражении, подставляя $x = 3,7$:

1. $3,5 \cdot 3,7 - 2,1 = 12,95 - 2,1 = 10,85$
2. $10,85 \cdot 3,7 + 1,9 = 40,145 + 1,9 = 42,045$
3. $42,045 \cdot 3,7 - 16,7 = 155,5665 - 16,7 = 138,8665$

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным первым способом.

Ответ: Значение многочлена, вычисленное обоими способами, равно 138,8665.

Оценим затраты времени на выполнение задания в каждом случае.

Первый способ (прямое вычисление) требует выполнения большего числа отдельных операций. Необходимо вычислить $x^2$ и $x^3$, затем выполнить три умножения и три сложения/вычитания. Это часто требует записи промежуточных результатов, что увеличивает время и вероятность ошибки.

Второй способ (схема Горнера) является более эффективным. Он сводит вычисление к последовательной цепочке операций "умножить-сложить/вычесть", повторяемой столько раз, какова степень многочлена. Для многочлена третьей степени это 3 умножения и 3 сложения/вычитания. Такую последовательность легко выполнить на калькуляторе без промежуточных записей, что значительно экономит время.

Ответ: Второй способ (преобразование многочлена) требует меньше времени, так как он более эффективен с точки зрения количества и последовательности операций.

Сравним полученные результаты и время, затраченное на решение задачи.

Результаты: Оба способа дали абсолютно одинаковый результат: $138,8665$. Это говорит о математической эквивалентности обоих подходов.

Время: Второй способ (схема Горнера) оказался значительно быстрее и удобнее для вычислений на калькуляторе. Он требует меньше действий и не нуждается в записи промежуточных итогов, что снижает как временные затраты, так и риск допустить ошибку.

Таким образом, преобразование многочлена является предпочтительным методом для вычисления его значения, особенно при использовании калькулятора.

Ответ: Результаты вычислений совпадают, однако второй способ позволяет решить задачу быстрее и с меньшей вероятностью ошибки.

951. Докажите, что значения многочлена $x^3 - x$ при целых значениях $x$ кратны числу 6.

Для того чтобы доказать, что значения многочлена $x^3 - x$ кратны числу 6 при любых целых значениях $x$, разложим данный многочлен на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 - x = x(x^2 - 1)$

Далее, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, разложим выражение в скобках:

$x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$

Переставив множители для наглядности, мы видим, что исходный многочлен представляет собой произведение трех последовательных целых чисел: $(x-1)x(x+1)$.

Теперь докажем, что это произведение всегда делится на 6. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 2 и на 3, так как числа 2 и 3 являются взаимно простыми и их произведение равно 6.

1. Делимость на 2. Среди любых двух последовательных целых чисел одно обязательно является четным. В произведении $(x-1)x(x+1)$ содержится как минимум одна пара последовательных чисел (например, $x-1$ и $x$). Это означает, что хотя бы один из множителей делится на 2, а следовательно, и всё произведение делится на 2.

2. Делимость на 3. Среди любых трех последовательных целых чисел ровно одно из них обязательно делится на 3. Наше выражение как раз и является произведением трех последовательных целых чисел. В зависимости от остатка от деления $x$ на 3, один из множителей — $(x-1)$, $x$ или $(x+1)$ — будет кратен 3. Следовательно, всё произведение всегда делится на 3.

Поскольку выражение $x^3 - x = (x-1)x(x+1)$ делится и на 2, и на 3 при любом целом значении $x$, оно также делится и на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Значение многочлена $x^3 - x$ при любом целом $x$ равно произведению трех последовательных целых чисел $(x-1)x(x+1)$. Такое произведение всегда делится на 2 (так как содержит хотя бы одно четное число) и на 3 (так как содержит одно число, кратное трем), а значит, делится и на 6.

954. Упростите выражение и найдите его значение при указанном значении переменной:

a) $(6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(3x + 1)$ при $x = 0,2$;

б) $(5 + 2x)^2 - 2,5x(8x + 7)$ при $x = -0,5$.

а) $(6x - 1)(6x + 1) - (12x - 5)(3x + 1)$ при $x = 0,2$

Сначала упростим выражение. Первое произведение $(6x - 1)(6x + 1)$ является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(6x - 1)(6x + 1) = (6x)^2 - 1^2 = 36x^2 - 1$

Теперь раскроем скобки во втором произведении $(12x - 5)(3x + 1)$:

$(12x - 5)(3x + 1) = 12x \cdot 3x + 12x \cdot 1 - 5 \cdot 3x - 5 \cdot 1 = 36x^2 + 12x - 15x - 5 = 36x^2 - 3x - 5$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(36x^2 - 1) - (36x^2 - 3x - 5)$

Раскроем скобки, изменив знаки во втором выражении на противоположные:

$36x^2 - 1 - 36x^2 + 3x + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(36x^2 - 36x^2) + 3x + (5 - 1) = 0 + 3x + 4 = 3x + 4$

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = 0,2$:

$3 \cdot 0,2 + 4 = 0,6 + 4 = 4,6$

Ответ: 4,6

б) $(5 + 2x)^2 - 2,5x(8x + 7)$ при $x = -0,5$

Сначала упростим выражение. Первое слагаемое $(5 + 2x)^2$ является квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(5 + 2x)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2 = 25 + 20x + 4x^2$

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом $-2,5x(8x + 7)$:

$-2,5x(8x + 7) = -2,5x \cdot 8x - 2,5x \cdot 7 = -20x^2 - 17,5x$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(25 + 20x + 4x^2) + (-20x^2 - 17,5x) = 25 + 20x + 4x^2 - 20x^2 - 17,5x$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 20x^2) + (20x - 17,5x) + 25 = -16x^2 + 2,5x + 25$

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = -0,5$:

$-16(-0,5)^2 + 2,5(-0,5) + 25$

Выполним вычисления по порядку:

$(-0,5)^2 = 0,25$

$-16 \cdot 0,25 = -4$

$2,5 \cdot (-0,5) = -1,25$

$-4 - 1,25 + 25 = -5,25 + 25 = 19,75$

Ответ: 19,75

949. Решите уравнение:

а) $x^3 - x = 0;$

б) $9x - x^3 = 0;$

в) $x^3 + x^2 = 0;$

г) $5x^4 - 20x^2 = 0.$

а) $x^3 - x = 0$
Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Применим ее:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
Теперь уравнение имеет вид:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x_1 = 0$
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$
$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

б) $9x - x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(9 - x^2) = 0$
Выражение в скобках также является разностью квадратов: $9 - x^2 = 3^2 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$.
Уравнение принимает вид:
$x(3 - x)(3 + x) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$x_1 = 0$
$3 - x = 0 \implies x_2 = 3$
$3 + x = 0 \implies x_3 = -3$
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 0, x_3 = 3$.

в) $x^3 + x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0$.

г) $5x^4 - 20x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $5x^2$ за скобки:
$5x^2(x^2 - 4) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
Уравнение принимает вид:
$5x^2(x - 2)(x + 2) = 0$
Приравняем множители, содержащие переменную, к нулю (поскольку $5 \neq 0$):
$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.

952. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.

Для доказательства этого утверждения необходимо представить два последовательных нечётных числа в общем виде и найти разность их квадратов.

Любое нечётное число можно записать в виде $2n + 1$, где $n$ — любое целое число.

Тогда следующее за ним нечётное число будет на 2 больше, то есть: $(2n + 1) + 2 = 2n + 3$.

Теперь составим выражение для разности квадратов этих двух чисел, вычитая из квадрата большего числа квадрат меньшего:

$(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В нашем случае $a = 2n + 3$ и $b = 2n + 1$.

Подставим наши значения в формулу:

$((2n + 3) - (2n + 1)) \cdot ((2n + 3) + (2n + 1))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(2n + 3 - 2n - 1) \cdot (2n + 3 + 2n + 1)$

$(2) \cdot (4n + 4)$

Вынесем общий множитель 4 из второй скобки:

$2 \cdot 4(n + 1) = 8(n + 1)$

Полученное в результате преобразований выражение $8(n + 1)$ имеет множитель 8. Так как $n$ является целым числом, то и сумма $(n + 1)$ также является целым числом. Следовательно, произведение $8(n + 1)$ всегда будет делиться на 8 без остатка.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность квадратов двух последовательных нечётных чисел $(2n+3)^2 - (2n+1)^2$ может быть представлена в виде $8(n+1)$. Поскольку $n$ — целое число, то выражение $8(n+1)$ всегда делится на 8.

955. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

а) $y = 0,24x + 6;$

б) $y = -5x - 1,8;$

в) $y = -0,6x + 4,2;$

г) $y = -x - 3,8.$

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо выполнить следующие действия:

1. Для нахождения точки пересечения с осью ординат ($Oy$), подставить в уравнение функции значение $x = 0$ и вычислить соответствующее значение $y$. Координаты этой точки будут $(0; y)$.
2. Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$), подставить в уравнение функции значение $y = 0$ и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты этой точки будут $(x; 0)$.

Применим этот алгоритм для каждой из заданных функций.

а) $y = 0,24x + 6$
1. Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = 0,24 \cdot 0 + 6 = 6$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 6)$.
2. Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$):
$0 = 0,24x + 6$
$0,24x = -6$
$x = \frac{-6}{0,24} = -\frac{600}{24} = -25$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(-25; 0)$.
Ответ: пересечение с осью $Oy$ в точке $(0; 6)$, с осью $Ox$ в точке $(-25; 0)$.

б) $y = -5x - 1,8$
1. Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = -5 \cdot 0 - 1,8 = -1,8$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -1,8)$.
2. Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$):
$0 = -5x - 1,8$
$5x = -1,8$
$x = \frac{-1,8}{5} = -0,36$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(-0,36; 0)$.
Ответ: пересечение с осью $Oy$ в точке $(0; -1,8)$, с осью $Ox$ в точке $(-0,36; 0)$.

в) $y = -0,6x + 4,2$
1. Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = -0,6 \cdot 0 + 4,2 = 4,2$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 4,2)$.
2. Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$):
$0 = -0,6x + 4,2$
$0,6x = 4,2$
$x = \frac{4,2}{0,6} = \frac{42}{6} = 7$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(7; 0)$.
Ответ: пересечение с осью $Oy$ в точке $(0; 4,2)$, с осью $Ox$ в точке $(7; 0)$.

г) $y = -x - 3,8$
1. Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = -0 - 3,8 = -3,8$
Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -3,8)$.
2. Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$):
$0 = -x - 3,8$
$x = -3,8$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: $(-3,8; 0)$.
Ответ: пересечение с осью $Oy$ в точке $(0; -3,8)$, с осью $Ox$ в точке $(-3,8; 0)$.