Страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

962. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(x + y)^6 + (x - y)^6$;

б) $(x + y)^6 - (x - y)^6$.

Для решения данной задачи необходимо представить выражения в виде многочлена, используя формулу бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Для степени $n=6$ коэффициенты $C_6^k$ можно найти из треугольника Паскаля. Они равны: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Сначала раскроем каждое из выражений $(x+y)^6$ и $(x-y)^6$ в многочлен.

$(x+y)^6 = C_6^0x^6y^0 + C_6^1x^5y^1 + C_6^2x^4y^2 + C_6^3x^3y^3 + C_6^4x^2y^4 + C_6^5x^1y^5 + C_6^6x^0y^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6$.

Для выражения $(x-y)^6 = (x+(-y))^6$ знаки при нечетных степенях $y$ меняются на противоположные:

$(x-y)^6 = x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6$.

Сложим полученные многочлены для выражения $(x+y)^6 + (x-y)^6$:

$(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) + (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Члены с нечетными степенями $y$ (например, $6x^5y$ и $-6x^5y$) взаимно уничтожаются:

$(x^6 + x^6) + (6x^5y - 6x^5y) + (15x^4y^2 + 15x^4y^2) + (20x^3y^3 - 20x^3y^3) + (15x^2y^4 + 15x^2y^4) + (6xy^5 - 6xy^5) + (y^6 + y^6) = 2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6$.

Ответ: $2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6$.

Вычтем второй многочлен из первого для выражения $(x+y)^6 - (x-y)^6$:

$(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) - (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)$.

Раскроем скобки, изменив знаки во втором многочлене на противоположные, и приведем подобные слагаемые. Члены с четными степенями $y$ (например, $x^6$ и $-x^6$) взаимно уничтожаются:

$(x^6 - x^6) + (6x^5y + 6x^5y) + (15x^4y^2 - 15x^4y^2) + (20x^3y^3 + 20x^3y^3) + (15x^2y^4 - 15x^2y^4) + (6xy^5 + 6xy^5) + (y^6 - y^6) = 12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5$.

Ответ: $12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5$.

965. Докажите, что значение выражения:

а) $83^4 + 65$ кратно 81;

б) $141^{10} + 88$ кратно 139.

а) Докажем, что значение выражения $83^4 + 65$ кратно 81.

Для доказательства делимости воспользуемся сравнениями по модулю. Нам нужно показать, что $83^4 + 65$ делится на 81 без остатка, то есть $83^4 + 65 \equiv 0 \pmod{81}$.

Представим число 83 через 81: $83 = 81 + 2$.

Следовательно, 83 дает остаток 2 при делении на 81. В виде сравнения по модулю это записывается так:

$83 \equiv 2 \pmod{81}$

Возведем обе части сравнения в 4-ю степень:

$83^4 \equiv 2^4 \pmod{81}$

$83^4 \equiv 16 \pmod{81}$

Теперь прибавим 65 к обеим частям сравнения:

$83^4 + 65 \equiv 16 + 65 \pmod{81}$

$83^4 + 65 \equiv 81 \pmod{81}$

Поскольку 81 делится на 81 без остатка, то $81 \equiv 0 \pmod{81}$.

Таким образом, мы получаем:

$83^4 + 65 \equiv 0 \pmod{81}$

Это означает, что значение выражения $83^4 + 65$ кратно 81, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Докажем, что значение выражения $141^{10} + 88$ кратно 139.

Воспользуемся методом сравнения по модулю. Нам нужно доказать, что $141^{10} + 88 \equiv 0 \pmod{139}$.

Представим число 141 через 139: $141 = 139 + 2$.

Это означает, что 141 дает остаток 2 при делении на 139:

$141 \equiv 2 \pmod{139}$

Возведем обе части сравнения в 10-ю степень:

$141^{10} \equiv 2^{10} \pmod{139}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$141^{10} + 88 \equiv 2^{10} + 88 \pmod{139}$

Вычислим значение выражения $2^{10} + 88$:

$2^{10} = 1024$

$1024 + 88 = 1112$

Теперь проверим, делится ли 1112 на 139:

$1112 \div 139 = 8$

Поскольку 1112 делится на 139 без остатка, то $1112 \equiv 0 \pmod{139}$.

Следовательно:

$141^{10} + 88 \equiv 0 \pmod{139}$

Это доказывает, что значение выражения $141^{10} + 88$ кратно 139.

Ответ: Доказано.

963. Выражение $(1 + y)^3 + (1 + y)^4 + (1 + y)^5$ заменили тождественно равным многочленом. Найдите коэффициент члена многочлена, содержащего:

а) $y^2$;

б) $y^3$.

Для того чтобы найти коэффициенты указанных членов многочлена, мы воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения выражения вида $(1+y)^n$. Формула имеет вид:

$(1 + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} y^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} y^k$

где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальный коэффициент, который является коэффициентом при члене $y^k$.

Чтобы найти искомый коэффициент в сумме $(1 + y)^3 + (1 + y)^4 + (1 + y)^5$, нужно найти соответствующий коэффициент в каждом слагаемом и сложить их.

а) Найдём коэффициент члена многочлена, содержащего $y^2$

Для этого найдём коэффициенты при $y^2$ в каждом из трёх биномиальных разложений и сложим их.

1. В разложении $(1+y)^3$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=3, k=2$) равен $\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3$.

2. В разложении $(1+y)^4$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=4, k=2$) равен $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

3. В разложении $(1+y)^5$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=5, k=2$) равен $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Суммарный коэффициент при $y^2$ равен сумме этих коэффициентов: $3 + 6 + 10 = 19$.

Ответ: 19

б) Найдём коэффициент члена многочлена, содержащего $y^3$

Аналогично найдём коэффициенты при $y^3$ в каждом из трёх разложений и сложим их.

1. В разложении $(1+y)^3$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=3, k=3$) равен $\binom{3}{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$.

2. В разложении $(1+y)^4$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=4, k=3$) равен $\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$.

3. В разложении $(1+y)^5$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=5, k=3$) равен $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Суммарный коэффициент при $y^3$ равен сумме этих коэффициентов: $1 + 4 + 10 = 15$.

Ответ: 15

961. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(a^2 + 3b^3)^3$;

б) $(1 - 2xy)^4$.

а) Для того чтобы представить выражение $(a^2 + 3b^3)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба суммы двух выражений: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

В данном случае $x = a^2$ и $y = 3b^3$.

Подставим эти значения в формулу:

$(a^2 + 3b^3)^3 = (a^2)^3 + 3 \cdot (a^2)^2 \cdot (3b^3) + 3 \cdot (a^2) \cdot (3b^3)^2 + (3b^3)^3$

Теперь упростим каждый член выражения:

• Первый член: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$
• Второй член: $3 \cdot (a^2)^2 \cdot (3b^3) = 3 \cdot a^4 \cdot 3b^3 = 9a^4b^3$
• Третий член: $3 \cdot (a^2) \cdot (3b^3)^2 = 3 \cdot a^2 \cdot (3^2 \cdot (b^3)^2) = 3 \cdot a^2 \cdot 9b^6 = 27a^2b^6$
• Четвертый член: $(3b^3)^3 = 3^3 \cdot (b^3)^3 = 27b^9$

Сложив все полученные члены, мы получим итоговый многочлен:

$a^6 + 9a^4b^3 + 27a^2b^6 + 27b^9$

Ответ: $a^6 + 9a^4b^3 + 27a^2b^6 + 27b^9$

б) Для того чтобы представить выражение $(1 - 2xy)^4$ в виде многочлена, воспользуемся формулой бинома Ньютона. Для степени $n=4$ коэффициенты можно взять из треугольника Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1. Формула для разности в четвертой степени выглядит так: $(x-y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$.

В данном случае $x = 1$ и $y = 2xy$.

Подставим эти значения в формулу:

$(1 - 2xy)^4 = 1^4 - 4 \cdot 1^3 \cdot (2xy) + 6 \cdot 1^2 \cdot (2xy)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2xy)^3 + (2xy)^4$

Теперь упростим каждый член выражения:

• Первый член: $1^4 = 1$
• Второй член: $-4 \cdot 1^3 \cdot (2xy) = -4 \cdot 2xy = -8xy$
• Третий член: $6 \cdot 1^2 \cdot (2xy)^2 = 6 \cdot 4x^2y^2 = 24x^2y^2$
• Четвертый член: $-4 \cdot 1 \cdot (2xy)^3 = -4 \cdot 8x^3y^3 = -32x^3y^3$
• Пятый член: $(2xy)^4 = 2^4x^4y^4 = 16x^4y^4$

Соберем все полученные члены в один многочлен:

$1 - 8xy + 24x^2y^2 - 32x^3y^3 + 16x^4y^4$

Ответ: $1 - 8xy + 24x^2y^2 - 32x^3y^3 + 16x^4y^4$

964. Какой остаток получится при делении числа $147^6$ на 145?

Для нахождения остатка от деления числа $147^6$ на $145$ воспользуемся теорией сравнений по модулю. Задача состоит в том, чтобы найти значение выражения $147^6 \pmod{145}$.

Первым шагом упростим основание степени. Заметим, что $147$ близко к $145$. Найдем остаток от деления $147$ на $145$:

$147 = 1 \cdot 145 + 2$

Это означает, что $147$ дает остаток $2$ при делении на $145$. В терминах сравнений по модулю это записывается так:

$147 \equiv 2 \pmod{145}$

Согласно свойству сравнений, если два числа сравнимы по некоторому модулю, то их одинаковые натуральные степени также сравнимы по тому же модулю. То есть, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$.

Применим это свойство к нашему случаю, возведя обе части сравнения в степень $6$:

$147^6 \equiv 2^6 \pmod{145}$

Теперь задача сводится к вычислению значения $2^6$.

$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$

Таким образом, мы получили, что:

$147^6 \equiv 64 \pmod{145}$

Поскольку $0 \le 64 < 145$, число $64$ является остатком от деления $147^6$ на $145$.

Ответ: 64

968. Решите уравнение:

а) $ (3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1) + 8x + 2; $

б) $ 4x^2(2x + 9) = (2x + 3)^3 + 12(3x + 1). $

а) $(3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1) + 8x + 2$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих его частях. В левой части применим формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Преобразуем левую часть:

$(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3x) \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 3 \cdot 9x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$

Преобразуем правую часть, раскрыв скобки:

$27x^2(x + 1) + 8x + 2 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2$

Теперь приравняем преобразованные части уравнения:

$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2$

Вычтем из обеих частей уравнения одинаковые слагаемые $27x^3$ и $27x^2$:

$9x + 1 = 8x + 2$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$9x - 8x = 2 - 1$

$x = 1$

Ответ: $1$

б) $4x^2(2x + 9) = (2x + 3)^3 + 12(3x + 1)$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих его частях. В правой части также применим формулу куба суммы.

Преобразуем левую часть:

$4x^2(2x + 9) = 8x^3 + 36x^2$

Преобразуем правую часть:

$(2x + 3)^3 + 12(3x + 1) = ((2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 + 3^3) + (36x + 12)$

$= (8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 6x \cdot 9 + 27) + 36x + 12$

$= (8x^3 + 36x^2 + 54x + 27) + 36x + 12$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$8x^3 + 36x^2 + (54x + 36x) + (27 + 12) = 8x^3 + 36x^2 + 90x + 39$

Приравняем преобразованные части уравнения:

$8x^3 + 36x^2 = 8x^3 + 36x^2 + 90x + 39$

Вычтем из обеих частей уравнения одинаковые слагаемые $8x^3$ и $36x^2$:

$0 = 90x + 39$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$90x = -39$

$x = -\frac{39}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = -\frac{13}{30}$

Ответ: $-\frac{13}{30}$

966. Докажите тождество $ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. $

Для доказательства тождества $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ необходимо показать, что его левая часть тождественно равна правой. Преобразуем левую часть выражения, используя два способа.

Способ 1: Прямое раскрытие скобок

Представим квадрат суммы $(a + b + c)^2$ как произведение этого выражения на само себя:

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)$

Выполним умножение многочлена на многочлен, последовательно умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(a + b + c)(a + b + c) = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c)$

Раскроем скобки, применяя распределительный закон умножения:

$= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

Сгруппируем подобные слагаемые. Учитывая коммутативность умножения ($ab = ba$, $ac = ca$, $bc = cb$), получаем:

$= a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ba) + (ac + ca) + (bc + cb)$

Сложим подобные члены:

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Результат преобразований левой части полностью совпадает с правой частью исходного равенства.

Способ 2: Использование формулы квадрата суммы для двух слагаемых

Воспользуемся известной формулой сокращенного умножения: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В выражении $(a + b + c)^2$ сгруппируем слагаемые, представив его как квадрат суммы двух выражений. Например, пусть $x = a+b$ и $y = c$.

$(a + b + c)^2 = ((a + b) + c)^2$

Теперь применим формулу квадрата суммы:

$((a + b) + c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$

Далее раскроем скобки в полученном выражении. Выражение $(a+b)^2$ также является квадратом суммы, раскроем его по той же формуле:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Выражение $2(a+b)c$ раскроем по распределительному закону:

$2(a+b)c = 2ac + 2bc$

Подставим полученные раскрытые выражения обратно:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2$

Уберем скобки и перегруппируем члены для приведения к стандартному виду:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Этот результат также полностью совпадает с правой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано. Преобразование левой части $(a + b + c)^2$ приводит к выражению $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$, что в точности равно правой части. Что и требовалось доказать.

969. Разложите на множители:

a) $b^2 + 10b + 25$;

б) $c^2 - 8c + 16$;

в) $16x^2 - 8x + 1$;

г) $4c^2 + 12c + 9$;

д) $x^4 + 2x^2y + y^2$;

е) $a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4$.

а) $b^2 + 10b + 25$

Данное выражение является полным квадратом суммы. Для его разложения на множители воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В нашем случае, можно предположить, что $a = b$ и $b = 5$.
Проверим, соответствуют ли члены нашего выражения этой формуле:
Квадрат первого члена: $a^2 = b^2$.
Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot b \cdot 5 = 10b$.
Квадрат второго члена: $b^2 = 5^2 = 25$.
Так как все члены совпадают, мы можем записать:
$b^2 + 10b + 25 = (b)^2 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2 = (b+5)^2$.
Ответ: $(b+5)^2$.

б) $c^2 - 8c + 16$

Данное выражение является полным квадратом разности. Используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В нашем случае, можно предположить, что $a = c$ и $b = 4$.
Проверим члены выражения:
Квадрат первого члена: $a^2 = c^2$.
Удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot c \cdot 4 = -8c$.
Квадрат второго члена: $b^2 = 4^2 = 16$.
Все члены совпадают, следовательно:
$c^2 - 8c + 16 = (c)^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = (c-4)^2$.
Ответ: $(c-4)^2$.

в) $16x^2 - 8x + 1$

Это выражение также является полным квадратом разности. Применим формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Здесь $16x^2 = (4x)^2$ и $1 = 1^2$. Предположим, что $a = 4x$ и $b = 1$.
Проверим:
Первый член: $a^2 = (4x)^2 = 16x^2$.
Средний член: $-2ab = -2 \cdot 4x \cdot 1 = -8x$.
Последний член: $b^2 = 1^2 = 1$.
Выражение соответствует формуле:
$16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = (4x-1)^2$.
Ответ: $(4x-1)^2$.

г) $4c^2 + 12c + 9$

Это выражение является полным квадратом суммы. Применим формулу $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Здесь $4c^2 = (2c)^2$ и $9 = 3^2$. Предположим, что $a = 2c$ и $b = 3$.
Проверим:
Первый член: $a^2 = (2c)^2 = 4c^2$.
Средний член: $2ab = 2 \cdot 2c \cdot 3 = 12c$.
Последний член: $b^2 = 3^2 = 9$.
Выражение соответствует формуле:
$4c^2 + 12c + 9 = (2c)^2 + 2 \cdot 2c \cdot 3 + 3^2 = (2c+3)^2$.
Ответ: $(2c+3)^2$.

д) $x^4 + 2x^2y + y^2$

Данное выражение является полным квадратом суммы. Используем формулу $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Представим $x^4$ как $(x^2)^2$. Тогда можно предположить, что $a = x^2$ и $b = y$.
Проверим:
Первый член: $a^2 = (x^2)^2 = x^4$.
Средний член: $2ab = 2 \cdot x^2 \cdot y = 2x^2y$.
Последний член: $b^2 = y^2$.
Все члены совпадают, следовательно:
$x^4 + 2x^2y + y^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 = (x^2+y)^2$.
Ответ: $(x^2+y)^2$.

е) $a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4$

Данное выражение является полным квадратом разности. Используем формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Представим $a^6$ как $(a^3)^2$ и $9b^4$ как $(3b^2)^2$. Тогда можно предположить, что $a = a^3$ и $b = 3b^2$.
Проверим:
Первый член: $a^2 = (a^3)^2 = a^6$.
Средний член: $-2ab = -2 \cdot a^3 \cdot 3b^2 = -6a^3b^2$.
Последний член: $b^2 = (3b^2)^2 = 9b^4$.
Все члены совпадают, следовательно:
$a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 3b^2 + (3b^2)^2 = (a^3-3b^2)^2$.
Ответ: $(a^3-3b^2)^2$.

967. Докажите, что значение выражения не зависит от x:

а) $(x + 7)^2 - (x - 5)(x + 19);$

б) $(x + 9)^2 + (8 - x)(x + 26).$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $x$, необходимо упростить его. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Выражение: $(x + 7)^2 - (x - 5)(x + 19)$

1. Раскроем первую скобку, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x + 7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$

2. Раскроем произведение двух скобок:

$(x - 5)(x + 19) = x \cdot x + 19 \cdot x - 5 \cdot x - 5 \cdot 19 = x^2 + 19x - 5x - 95 = x^2 + 14x - 95$

3. Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(x^2 + 14x + 49) - (x^2 + 14x - 95)$

4. Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные, так как перед ней стоит знак минус:

$x^2 + 14x + 49 - x^2 - 14x + 95$

5. Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (14x - 14x) + (49 + 95) = 0 + 0 + 144 = 144$

В результате упрощения мы получили число 144. Это значение является константой и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 144.

б) Аналогично докажем, что значение второго выражения не зависит от $x$, упростив его.

Выражение: $(x + 9)^2 + (8 - x)(x + 26)$

1. Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы:

$(x + 9)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 + 18x + 81$

2. Раскроем произведение двух скобок:

$(8 - x)(x + 26) = 8 \cdot x + 8 \cdot 26 - x \cdot x - x \cdot 26 = 8x + 208 - x^2 - 26x = -x^2 - 18x + 208$

3. Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(x^2 + 18x + 81) + (-x^2 - 18x + 208)$

4. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в ней не меняются:

$x^2 + 18x + 81 - x^2 - 18x + 208$

5. Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (18x - 18x) + (81 + 208) = 0 + 0 + 289 = 289$

В результате упрощения мы получили число 289. Это значение является константой и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 289.

970. Представьте в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) $a^4 - 8a^2 + 16$;

б) $-4 - 4b - b^2$;

в) $10x - x^2 - 25$;

г) $c^4d^2 + 1 - 2c^2d$;

д) $a^6b^2 + 12a^3b + 36$;

е) $x + 1 + \frac{1}{4}x^2$;

ж) $y - y^2 - 0.25$;

з) $9 - m + \frac{1}{36}m^2$;

и) $-25 - 2n - 0.04n^2$.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$
• Квадрат разности: $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$

В некоторых случаях потребуется сначала вынести знак минус за скобки, чтобы получить выражение, противоположное квадрату двучлена: $- (A \pm B)^2$.

Чтобы представить выражение $a^4 - 8a^2 + 16$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности.
Представим первый и последний члены в виде квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $16 = 4^2$.
Теперь выражение имеет вид $(a^2)^2 - 8a^2 + 4^2$.
Проверим, является ли средний член удвоенным произведением оснований: $2 \cdot a^2 \cdot 4 = 8a^2$.
Так как $a^4 - 8a^2 + 16 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2$, мы можем свернуть его по формуле.
Ответ: $(a^2 - 4)^2$.

Рассмотрим выражение $-4 - 4b - b^2$. Сначала вынесем знак минус за скобки.
$-4 - 4b - b^2 = -(4 + 4b + b^2)$.
Перепишем выражение в скобках в стандартном порядке: $b^2 + 4b + 4$.
Воспользуемся формулой квадрата суммы. Представим $b^2$ как $(b)^2$ и $4$ как $2^2$.
Проверим средний член: $2 \cdot b \cdot 2 = 4b$.
Выражение в скобках является полным квадратом: $b^2 + 4b + 4 = (b+2)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно $-(b+2)^2$.
Ответ: $-(b+2)^2$.

Рассмотрим выражение $10x - x^2 - 25$. Переставим члены и вынесем минус за скобки.
$10x - x^2 - 25 = -x^2 + 10x - 25 = -(x^2 - 10x + 25)$.
Применим к выражению в скобках формулу квадрата разности.
Представим $x^2$ как $(x)^2$ и $25$ как $5^2$.
Проверим средний член: $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$.
Выражение в скобках равно $(x-5)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(x-5)^2$.
Ответ: $-(x-5)^2$.

Рассмотрим выражение $c^4d^2 + 1 - 2c^2d$. Переставим члены для удобства: $c^4d^2 - 2c^2d + 1$.
Применим формулу квадрата разности.
Представим $c^4d^2$ как $(c^2d)^2$ и $1$ как $1^2$.
Проверим средний член: $2 \cdot c^2d \cdot 1 = 2c^2d$.
Следовательно, $c^4d^2 - 2c^2d + 1 = (c^2d - 1)^2$.
Ответ: $(c^2d - 1)^2$.

Рассмотрим выражение $a^6b^2 + 12a^3b + 36$.
Применим формулу квадрата суммы.
Представим $a^6b^2$ как $(a^3b)^2$ и $36$ как $6^2$.
Проверим средний член: $2 \cdot a^3b \cdot 6 = 12a^3b$.
Следовательно, $a^6b^2 + 12a^3b + 36 = (a^3b + 6)^2$.
Ответ: $(a^3b + 6)^2$.

Рассмотрим выражение $x + 1 + \frac{1}{4}x^2$. Переставим члены для удобства: $\frac{1}{4}x^2 + x + 1$.
Применим формулу квадрата суммы.
Представим $\frac{1}{4}x^2$ как $(\frac{1}{2}x)^2$ и $1$ как $1^2$.
Проверим средний член: $2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot 1 = x$.
Следовательно, $\frac{1}{4}x^2 + x + 1 = (\frac{1}{2}x + 1)^2$.
Ответ: $(\frac{

971. Вычислите:

а) $1005 \cdot 995;$

б) $108 \cdot 92;$

в) $0,94 \cdot 1,06;$

г) $1,09 \cdot 0,91;$

д) $10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7};$

е) $99\frac{7}{9} \cdot 100\frac{2}{9}.$

Для решения всех пунктов данной задачи удобно использовать формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

а) $1005 \cdot 995$

Представим множители в виде суммы и разности одного и того же числа:

$1005 = 1000 + 5$

$995 = 1000 - 5$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$1005 \cdot 995 = (1000 + 5)(1000 - 5) = 1000^2 - 5^2 = 1000000 - 25 = 999975$.

Ответ: $999975$.

б) $108 \cdot 92$

Представим множители аналогичным образом:

$108 = 100 + 8$

$92 = 100 - 8$

Применяем формулу:

$108 \cdot 92 = (100 + 8)(100 - 8) = 100^2 - 8^2 = 10000 - 64 = 9936$.

Ответ: $9936$.

в) $0,94 \cdot 1,06$

Представим десятичные дроби в виде разности и суммы:

$0,94 = 1 - 0,06$

$1,06 = 1 + 0,06$

Применяем формулу:

$0,94 \cdot 1,06 = (1 - 0,06)(1 + 0,06) = 1^2 - (0,06)^2 = 1 - 0,0036 = 0,9964$.

Ответ: $0,9964$.

г) $1,09 \cdot 0,91$

Представим множители в виде суммы и разности:

$1,09 = 1 + 0,09$

$0,91 = 1 - 0,09$

Применяем формулу:

$1,09 \cdot 0,91 = (1 + 0,09)(1 - 0,09) = 1^2 - (0,09)^2 = 1 - 0,0081 = 0,9919$.

Ответ: $0,9919$.

д) $10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7}$

Представим смешанные дроби в удобном виде:

$10\frac{1}{7} = 10 + \frac{1}{7}$

$9\frac{6}{7} = 10 - \frac{1}{7}$ (так как $10 - \frac{1}{7} = 9\frac{7}{7} - \frac{1}{7} = 9\frac{6}{7}$)

Применяем формулу разности квадратов:

$(10 + \frac{1}{7})(10 - \frac{1}{7}) = 10^2 - (\frac{1}{7})^2 = 100 - \frac{1}{49} = 99\frac{49}{49} - \frac{1}{49} = 99\frac{48}{49}$.

Ответ: $99\frac{48}{49}$.

е) $99\frac{7}{9} \cdot 100\frac{2}{9}$

Представим смешанные дроби в виде разности и суммы:

$99\frac{7}{9} = 100 - \frac{2}{9}$ (так как $100 - \frac{2}{9} = 99\frac{9}{9} - \frac{2}{9} = 99\frac{7}{9}$)

$100\frac{2}{9} = 100 + \frac{2}{9}$

Применяем формулу:

$(100 - \frac{2}{9})(100 + \frac{2}{9}) = 100^2 - (\frac{2}{9})^2 = 10000 - \frac{4}{81} = 9999\frac{81}{81} - \frac{4}{81} = 9999\frac{77}{81}$.

Ответ: $9999\frac{77}{81}$.