Номер 971, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 971, страница 193.

Условие.

971. Вычислите:

а) $1005 \cdot 995;$

б) $108 \cdot 92;$

в) $0,94 \cdot 1,06;$

г) $1,09 \cdot 0,91;$

д) $10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7};$

е) $99\frac{7}{9} \cdot 100\frac{2}{9}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех пунктов данной задачи удобно использовать формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

а) $1005 \cdot 995$

Представим множители в виде суммы и разности одного и того же числа:

$1005 = 1000 + 5$

$995 = 1000 - 5$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$1005 \cdot 995 = (1000 + 5)(1000 - 5) = 1000^2 - 5^2 = 1000000 - 25 = 999975$.

Ответ: $999975$.

б) $108 \cdot 92$

Представим множители аналогичным образом:

$108 = 100 + 8$

$92 = 100 - 8$

Применяем формулу:

$108 \cdot 92 = (100 + 8)(100 - 8) = 100^2 - 8^2 = 10000 - 64 = 9936$.

Ответ: $9936$.

в) $0,94 \cdot 1,06$

Представим десятичные дроби в виде разности и суммы:

$0,94 = 1 - 0,06$

$1,06 = 1 + 0,06$

Применяем формулу:

$0,94 \cdot 1,06 = (1 - 0,06)(1 + 0,06) = 1^2 - (0,06)^2 = 1 - 0,0036 = 0,9964$.

Ответ: $0,9964$.

г) $1,09 \cdot 0,91$

Представим множители в виде суммы и разности:

$1,09 = 1 + 0,09$

$0,91 = 1 - 0,09$

Применяем формулу:

$1,09 \cdot 0,91 = (1 + 0,09)(1 - 0,09) = 1^2 - (0,09)^2 = 1 - 0,0081 = 0,9919$.

Ответ: $0,9919$.

д) $10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7}$

Представим смешанные дроби в удобном виде:

$10\frac{1}{7} = 10 + \frac{1}{7}$

$9\frac{6}{7} = 10 - \frac{1}{7}$ (так как $10 - \frac{1}{7} = 9\frac{7}{7} - \frac{1}{7} = 9\frac{6}{7}$)

Применяем формулу разности квадратов:

$(10 + \frac{1}{7})(10 - \frac{1}{7}) = 10^2 - (\frac{1}{7})^2 = 100 - \frac{1}{49} = 99\frac{49}{49} - \frac{1}{49} = 99\frac{48}{49}$.

Ответ: $99\frac{48}{49}$.

е) $99\frac{7}{9} \cdot 100\frac{2}{9}$

Представим смешанные дроби в виде разности и суммы:

$99\frac{7}{9} = 100 - \frac{2}{9}$ (так как $100 - \frac{2}{9} = 99\frac{9}{9} - \frac{2}{9} = 99\frac{7}{9}$)

$100\frac{2}{9} = 100 + \frac{2}{9}$

Применяем формулу:

$(100 - \frac{2}{9})(100 + \frac{2}{9}) = 100^2 - (\frac{2}{9})^2 = 10000 - \frac{4}{81} = 9999\frac{81}{81} - \frac{4}{81} = 9999\frac{77}{81}$.

Ответ: $9999\frac{77}{81}$.