Номер 964, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 964, страница 193.

Условие.

964. Какой остаток получится при делении числа $147^6$ на 145?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения остатка от деления числа $147^6$ на $145$ воспользуемся теорией сравнений по модулю. Задача состоит в том, чтобы найти значение выражения $147^6 \pmod{145}$.

Первым шагом упростим основание степени. Заметим, что $147$ близко к $145$. Найдем остаток от деления $147$ на $145$:

$147 = 1 \cdot 145 + 2$

Это означает, что $147$ дает остаток $2$ при делении на $145$. В терминах сравнений по модулю это записывается так:

$147 \equiv 2 \pmod{145}$

Согласно свойству сравнений, если два числа сравнимы по некоторому модулю, то их одинаковые натуральные степени также сравнимы по тому же модулю. То есть, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$.

Применим это свойство к нашему случаю, возведя обе части сравнения в степень $6$:

$147^6 \equiv 2^6 \pmod{145}$

Теперь задача сводится к вычислению значения $2^6$.

$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$

Таким образом, мы получили, что:

$147^6 \equiv 64 \pmod{145}$

Поскольку $0 \le 64 < 145$, число $64$ является остатком от деления $147^6$ на $145$.

Ответ: 64