Номер 959, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 959, страница 192.

Условие.

959. Напишите формулу:

а) седьмой степени двучлена;
$(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

б) восьмой степени двучлена.
$(a+b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + b^8$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) седьмой степени двучлена;

Для того чтобы написать формулу седьмой степени двучлена, мы используем формулу бинома Ньютона. Общая формула для возведения двучлена $(a+b)$ в натуральную степень $n$ выглядит следующим образом:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$

В этой формуле $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, которые вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=7$. Нам нужно вычислить биномиальные коэффициенты от $C_7^0$ до $C_7^7$:

$C_7^0 = \frac{7!}{0!(7-0)!} = 1$

$C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{6!} = 7$

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Благодаря свойству симметрии биномиальных коэффициентов ($C_n^k = C_n^{n-k}$), мы можем найти оставшиеся коэффициенты:

$C_7^4 = C_7^3 = 35$

$C_7^5 = C_7^2 = 21$

$C_7^6 = C_7^1 = 7$

$C_7^7 = C_7^0 = 1$

Теперь, подставив найденные коэффициенты в формулу бинома Ньютона, получим разложение для седьмой степени:

$(a+b)^7 = 1 \cdot a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + 1 \cdot b^7$

Ответ: $(a+b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$

б) восьмой степени двучлена.

Действуем аналогично, используя формулу бинома Ньютона для $n=8$.

Вычислим биномиальные коэффициенты от $C_8^0$ до $C_8^8$:

$C_8^0 = 1$

$C_8^1 = \frac{8!}{1!7!} = 8$

$C_8^2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$

$C_8^3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

$C_8^4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Используя свойство симметрии, находим остальные коэффициенты:

$C_8^5 = C_8^3 = 56$

$C_8^6 = C_8^2 = 28$

$C_8^7 = C_8^1 = 8$

$C_8^8 = C_8^0 = 1$

Подставляем коэффициенты в формулу разложения для восьмой степени:

$(a+b)^8 = 1 \cdot a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + 1 \cdot b^8$

Ответ: $(a+b)^8 = a^8 + 8a^7b + 28a^6b^2 + 56a^5b^3 + 70a^4b^4 + 56a^3b^5 + 28a^2b^6 + 8ab^7 + b^8$