Номер 966, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 966, страница 193.

Условие.

966. Докажите тождество $ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства тождества $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ необходимо показать, что его левая часть тождественно равна правой. Преобразуем левую часть выражения, используя два способа.

Способ 1: Прямое раскрытие скобок

Представим квадрат суммы $(a + b + c)^2$ как произведение этого выражения на само себя:

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)$

Выполним умножение многочлена на многочлен, последовательно умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(a + b + c)(a + b + c) = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c)$

Раскроем скобки, применяя распределительный закон умножения:

$= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

Сгруппируем подобные слагаемые. Учитывая коммутативность умножения ($ab = ba$, $ac = ca$, $bc = cb$), получаем:

$= a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ba) + (ac + ca) + (bc + cb)$

Сложим подобные члены:

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Результат преобразований левой части полностью совпадает с правой частью исходного равенства.

Способ 2: Использование формулы квадрата суммы для двух слагаемых

Воспользуемся известной формулой сокращенного умножения: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В выражении $(a + b + c)^2$ сгруппируем слагаемые, представив его как квадрат суммы двух выражений. Например, пусть $x = a+b$ и $y = c$.

$(a + b + c)^2 = ((a + b) + c)^2$

Теперь применим формулу квадрата суммы:

$((a + b) + c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$

Далее раскроем скобки в полученном выражении. Выражение $(a+b)^2$ также является квадратом суммы, раскроем его по той же формуле:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Выражение $2(a+b)c$ раскроем по распределительному закону:

$2(a+b)c = 2ac + 2bc$

Подставим полученные раскрытые выражения обратно:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2$

Уберем скобки и перегруппируем члены для приведения к стандартному виду:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Этот результат также полностью совпадает с правой частью исходного тождества.

Ответ: Тождество доказано. Преобразование левой части $(a + b + c)^2$ приводит к выражению $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$, что в точности равно правой части. Что и требовалось доказать.