Номер 973, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 973, страница 194.

Условие.

973. Упростите выражение:

а) $(a + 2)(a - 2) - a(a - 5);$

б) $(a - 3)(3 + a) + a(7 - a);$

в) $(b - 4)(b + 4) - (b - 3)(b + 5);$

г) $(b + 8)(b - 6) - (b - 7)(b + 7);$

д) $(c - 1)(c + 1) + (c - 9)(c + 9);$

е) $(5 + c)(c - 5) - (c - 10)(c + 10).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы упростить выражение $(a+2)(a-2) - a(a-5)$, применим формулу разности квадратов для первого слагаемого и распределительный закон для второго.
1. Раскроем произведение $(a+2)(a-2)$ по формуле разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$(a+2)(a-2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
2. Раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-a$ на каждый член в скобках:
$-a(a-5) = -a \cdot a - a \cdot (-5) = -a^2 + 5a$.
3. Сложим полученные результаты:
$(a^2 - 4) + (-a^2 + 5a) = a^2 - 4 - a^2 + 5a$.
4. Приведем подобные члены:
$(a^2 - a^2) + 5a - 4 = 0 + 5a - 4 = 5a - 4$.

Ответ: $5a - 4$.

б)

Упростим выражение $(a-3)(3+a) + a(7-a)$.
1. Заметим, что первое произведение $(a-3)(3+a)$ можно записать как $(a-3)(a+3)$, что является формулой разности квадратов:
$(a-3)(a+3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.
2. Раскроем скобки во втором слагаемом:
$a(7-a) = a \cdot 7 - a \cdot a = 7a - a^2$.
3. Сложим полученные выражения:
$(a^2 - 9) + (7a - a^2) = a^2 - 9 + 7a - a^2$.
4. Приведем подобные члены:
$(a^2 - a^2) + 7a - 9 = 0 + 7a - 9 = 7a - 9$.

Ответ: $7a - 9$.

в)

Упростим выражение $(b-4)(b+4) - (b-3)(b+5)$.
1. Первое произведение $(b-4)(b+4)$ — это разность квадратов:
$b^2 - 4^2 = b^2 - 16$.
2. Второе произведение $(b-3)(b+5)$ раскроем по правилу умножения многочленов:
$(b-3)(b+5) = b \cdot b + b \cdot 5 - 3 \cdot b - 3 \cdot 5 = b^2 + 5b - 3b - 15 = b^2 + 2b - 15$.
3. Теперь выполним вычитание:
$(b^2 - 16) - (b^2 + 2b - 15)$.
4. Раскроем скобки, поменяв знаки у членов второго многочлена на противоположные:
$b^2 - 16 - b^2 - 2b + 15$.
5. Приведем подобные члены:
$(b^2 - b^2) - 2b + (15 - 16) = 0 - 2b - 1 = -2b - 1$.

Ответ: $-2b - 1$.

г)

Упростим выражение $(b+8)(b-6) - (b-7)(b+7)$.
1. Раскроем первое произведение $(b+8)(b-6)$:
$b^2 - 6b + 8b - 48 = b^2 + 2b - 48$.
2. Второе произведение $(b-7)(b+7)$ является разностью квадратов:
$b^2 - 7^2 = b^2 - 49$.
3. Выполним вычитание:
$(b^2 + 2b - 48) - (b^2 - 49)$.
4. Раскроем скобки:
$b^2 + 2b - 48 - b^2 + 49$.
5. Приведем подобные члены:
$(b^2 - b^2) + 2b + (49 - 48) = 0 + 2b + 1 = 2b + 1$.

Ответ: $2b + 1$.

д)

Упростим выражение $(c-1)(c+1) + (c-9)(c+9)$.
1. Оба слагаемых являются произведениями, которые можно раскрыть по формуле разности квадратов.
Первое слагаемое: $(c-1)(c+1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.
2. Второе слагаемое: $(c-9)(c+9) = c^2 - 9^2 = c^2 - 81$.
3. Сложим полученные результаты:
$(c^2 - 1) + (c^2 - 81) = c^2 - 1 + c^2 - 81$.
4. Приведем подобные члены:
$(c^2 + c^2) + (-1 - 81) = 2c^2 - 82$.

Ответ: $2c^2 - 82$.

е)

Упростим выражение $(5+c)(c-5) - (c-10)(c+10)$.
1. Переставим слагаемые в первой скобке, чтобы увидеть формулу разности квадратов: $(c+5)(c-5) = c^2 - 5^2 = c^2 - 25$.
2. Второе произведение $(c-10)(c+10)$ также является разностью квадратов:
$c^2 - 10^2 = c^2 - 100$.
3. Выполним вычитание:
$(c^2 - 25) - (c^2 - 100)$.
4. Раскроем скобки:
$c^2 - 25 - c^2 + 100$.
5. Приведем подобные члены:
$(c^2 - c^2) + (100 - 25) = 0 + 75 = 75$.

Ответ: $75$.