Номер 969, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 969, страница 193.

Условие.

969. Разложите на множители:

a) $b^2 + 10b + 25$;

б) $c^2 - 8c + 16$;

в) $16x^2 - 8x + 1$;

г) $4c^2 + 12c + 9$;

д) $x^4 + 2x^2y + y^2$;

е) $a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $b^2 + 10b + 25$

Данное выражение является полным квадратом суммы. Для его разложения на множители воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В нашем случае, можно предположить, что $a = b$ и $b = 5$.
Проверим, соответствуют ли члены нашего выражения этой формуле:
Квадрат первого члена: $a^2 = b^2$.
Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot b \cdot 5 = 10b$.
Квадрат второго члена: $b^2 = 5^2 = 25$.
Так как все члены совпадают, мы можем записать:
$b^2 + 10b + 25 = (b)^2 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2 = (b+5)^2$.
Ответ: $(b+5)^2$.

б) $c^2 - 8c + 16$

Данное выражение является полным квадратом разности. Используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В нашем случае, можно предположить, что $a = c$ и $b = 4$.
Проверим члены выражения:
Квадрат первого члена: $a^2 = c^2$.
Удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot c \cdot 4 = -8c$.
Квадрат второго члена: $b^2 = 4^2 = 16$.
Все члены совпадают, следовательно:
$c^2 - 8c + 16 = (c)^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = (c-4)^2$.
Ответ: $(c-4)^2$.

в) $16x^2 - 8x + 1$

Это выражение также является полным квадратом разности. Применим формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Здесь $16x^2 = (4x)^2$ и $1 = 1^2$. Предположим, что $a = 4x$ и $b = 1$.
Проверим:
Первый член: $a^2 = (4x)^2 = 16x^2$.
Средний член: $-2ab = -2 \cdot 4x \cdot 1 = -8x$.
Последний член: $b^2 = 1^2 = 1$.
Выражение соответствует формуле:
$16x^2 - 8x + 1 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = (4x-1)^2$.
Ответ: $(4x-1)^2$.

г) $4c^2 + 12c + 9$

Это выражение является полным квадратом суммы. Применим формулу $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Здесь $4c^2 = (2c)^2$ и $9 = 3^2$. Предположим, что $a = 2c$ и $b = 3$.
Проверим:
Первый член: $a^2 = (2c)^2 = 4c^2$.
Средний член: $2ab = 2 \cdot 2c \cdot 3 = 12c$.
Последний член: $b^2 = 3^2 = 9$.
Выражение соответствует формуле:
$4c^2 + 12c + 9 = (2c)^2 + 2 \cdot 2c \cdot 3 + 3^2 = (2c+3)^2$.
Ответ: $(2c+3)^2$.

д) $x^4 + 2x^2y + y^2$

Данное выражение является полным квадратом суммы. Используем формулу $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Представим $x^4$ как $(x^2)^2$. Тогда можно предположить, что $a = x^2$ и $b = y$.
Проверим:
Первый член: $a^2 = (x^2)^2 = x^4$.
Средний член: $2ab = 2 \cdot x^2 \cdot y = 2x^2y$.
Последний член: $b^2 = y^2$.
Все члены совпадают, следовательно:
$x^4 + 2x^2y + y^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 = (x^2+y)^2$.
Ответ: $(x^2+y)^2$.

е) $a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4$

Данное выражение является полным квадратом разности. Используем формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Представим $a^6$ как $(a^3)^2$ и $9b^4$ как $(3b^2)^2$. Тогда можно предположить, что $a = a^3$ и $b = 3b^2$.
Проверим:
Первый член: $a^2 = (a^3)^2 = a^6$.
Средний член: $-2ab = -2 \cdot a^3 \cdot 3b^2 = -6a^3b^2$.
Последний член: $b^2 = (3b^2)^2 = 9b^4$.
Все члены совпадают, следовательно:
$a^6 - 6a^3b^2 + 9b^4 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 3b^2 + (3b^2)^2 = (a^3-3b^2)^2$.
Ответ: $(a^3-3b^2)^2$.