Номер 967, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 967, страница 193.

Условие.

967. Докажите, что значение выражения не зависит от x:

а) $(x + 7)^2 - (x - 5)(x + 19);$

б) $(x + 9)^2 + (8 - x)(x + 26).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $x$, необходимо упростить его. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Выражение: $(x + 7)^2 - (x - 5)(x + 19)$

1. Раскроем первую скобку, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x + 7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$

2. Раскроем произведение двух скобок:

$(x - 5)(x + 19) = x \cdot x + 19 \cdot x - 5 \cdot x - 5 \cdot 19 = x^2 + 19x - 5x - 95 = x^2 + 14x - 95$

3. Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(x^2 + 14x + 49) - (x^2 + 14x - 95)$

4. Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные, так как перед ней стоит знак минус:

$x^2 + 14x + 49 - x^2 - 14x + 95$

5. Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (14x - 14x) + (49 + 95) = 0 + 0 + 144 = 144$

В результате упрощения мы получили число 144. Это значение является константой и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 144.

б) Аналогично докажем, что значение второго выражения не зависит от $x$, упростив его.

Выражение: $(x + 9)^2 + (8 - x)(x + 26)$

1. Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы:

$(x + 9)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 + 18x + 81$

2. Раскроем произведение двух скобок:

$(8 - x)(x + 26) = 8 \cdot x + 8 \cdot 26 - x \cdot x - x \cdot 26 = 8x + 208 - x^2 - 26x = -x^2 - 18x + 208$

3. Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(x^2 + 18x + 81) + (-x^2 - 18x + 208)$

4. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в ней не меняются:

$x^2 + 18x + 81 - x^2 - 18x + 208$

5. Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (18x - 18x) + (81 + 208) = 0 + 0 + 289 = 289$

В результате упрощения мы получили число 289. Это значение является константой и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 289.