Номер 963, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 963, страница 193.

Условие.

963. Выражение $(1 + y)^3 + (1 + y)^4 + (1 + y)^5$ заменили тождественно равным многочленом. Найдите коэффициент члена многочлена, содержащего:

а) $y^2$;

б) $y^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы найти коэффициенты указанных членов многочлена, мы воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения выражения вида $(1+y)^n$. Формула имеет вид:

$(1 + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^{n-k} y^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} y^k$

где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальный коэффициент, который является коэффициентом при члене $y^k$.

Чтобы найти искомый коэффициент в сумме $(1 + y)^3 + (1 + y)^4 + (1 + y)^5$, нужно найти соответствующий коэффициент в каждом слагаемом и сложить их.

а) Найдём коэффициент члена многочлена, содержащего $y^2$

Для этого найдём коэффициенты при $y^2$ в каждом из трёх биномиальных разложений и сложим их.

1. В разложении $(1+y)^3$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=3, k=2$) равен $\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3$.

2. В разложении $(1+y)^4$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=4, k=2$) равен $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

3. В разложении $(1+y)^5$ коэффициент при $y^2$ (здесь $n=5, k=2$) равен $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Суммарный коэффициент при $y^2$ равен сумме этих коэффициентов: $3 + 6 + 10 = 19$.

Ответ: 19

б) Найдём коэффициент члена многочлена, содержащего $y^3$

Аналогично найдём коэффициенты при $y^3$ в каждом из трёх разложений и сложим их.

1. В разложении $(1+y)^3$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=3, k=3$) равен $\binom{3}{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$.

2. В разложении $(1+y)^4$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=4, k=3$) равен $\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$.

3. В разложении $(1+y)^5$ коэффициент при $y^3$ (здесь $n=5, k=3$) равен $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Суммарный коэффициент при $y^3$ равен сумме этих коэффициентов: $1 + 4 + 10 = 15$.

Ответ: 15