Номер 962, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 962, страница 193.

Условие.

962. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(x + y)^6 + (x - y)^6$;

б) $(x + y)^6 - (x - y)^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи необходимо представить выражения в виде многочлена, используя формулу бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Для степени $n=6$ коэффициенты $C_6^k$ можно найти из треугольника Паскаля. Они равны: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Сначала раскроем каждое из выражений $(x+y)^6$ и $(x-y)^6$ в многочлен.

$(x+y)^6 = C_6^0x^6y^0 + C_6^1x^5y^1 + C_6^2x^4y^2 + C_6^3x^3y^3 + C_6^4x^2y^4 + C_6^5x^1y^5 + C_6^6x^0y^6 = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6$.

Для выражения $(x-y)^6 = (x+(-y))^6$ знаки при нечетных степенях $y$ меняются на противоположные:

$(x-y)^6 = x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6$.

а)

Сложим полученные многочлены для выражения $(x+y)^6 + (x-y)^6$:

$(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) + (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Члены с нечетными степенями $y$ (например, $6x^5y$ и $-6x^5y$) взаимно уничтожаются:

$(x^6 + x^6) + (6x^5y - 6x^5y) + (15x^4y^2 + 15x^4y^2) + (20x^3y^3 - 20x^3y^3) + (15x^2y^4 + 15x^2y^4) + (6xy^5 - 6xy^5) + (y^6 + y^6) = 2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6$.

Ответ: $2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6$.

б)

Вычтем второй многочлен из первого для выражения $(x+y)^6 - (x-y)^6$:

$(x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) - (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6)$.

Раскроем скобки, изменив знаки во втором многочлене на противоположные, и приведем подобные слагаемые. Члены с четными степенями $y$ (например, $x^6$ и $-x^6$) взаимно уничтожаются:

$(x^6 - x^6) + (6x^5y + 6x^5y) + (15x^4y^2 - 15x^4y^2) + (20x^3y^3 + 20x^3y^3) + (15x^2y^4 - 15x^2y^4) + (6xy^5 + 6xy^5) + (y^6 - y^6) = 12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5$.

Ответ: $12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5$.