Номер 968, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 968, страница 193.

Условие.

968. Решите уравнение:

а) $ (3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1) + 8x + 2; $

б) $ 4x^2(2x + 9) = (2x + 3)^3 + 12(3x + 1). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1) + 8x + 2$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих его частях. В левой части применим формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Преобразуем левую часть:

$(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (3x) \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 3 \cdot 9x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$

Преобразуем правую часть, раскрыв скобки:

$27x^2(x + 1) + 8x + 2 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2$

Теперь приравняем преобразованные части уравнения:

$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 8x + 2$

Вычтем из обеих частей уравнения одинаковые слагаемые $27x^3$ и $27x^2$:

$9x + 1 = 8x + 2$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$9x - 8x = 2 - 1$

$x = 1$

Ответ: $1$

б) $4x^2(2x + 9) = (2x + 3)^3 + 12(3x + 1)$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих его частях. В правой части также применим формулу куба суммы.

Преобразуем левую часть:

$4x^2(2x + 9) = 8x^3 + 36x^2$

Преобразуем правую часть:

$(2x + 3)^3 + 12(3x + 1) = ((2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 + 3^3) + (36x + 12)$

$= (8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot 3 + 6x \cdot 9 + 27) + 36x + 12$

$= (8x^3 + 36x^2 + 54x + 27) + 36x + 12$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$8x^3 + 36x^2 + (54x + 36x) + (27 + 12) = 8x^3 + 36x^2 + 90x + 39$

Приравняем преобразованные части уравнения:

$8x^3 + 36x^2 = 8x^3 + 36x^2 + 90x + 39$

Вычтем из обеих частей уравнения одинаковые слагаемые $8x^3$ и $36x^2$:

$0 = 90x + 39$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$90x = -39$

$x = -\frac{39}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = -\frac{13}{30}$

Ответ: $-\frac{13}{30}$