Номер 975, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 975, страница 194.

Условие.

975. Преобразуйте в многочлен:

a) $(x - 5)^2 + 2x(x - 3)$;

б) $(y + 8)^2 - 4y(y - 2)$;

в) $(a - 4)(a + 4) + (2a - 1)^2$;

г) $(b - 3)(b + 3) - (b + 2)^2$;

д) $(2a - 5)^2 - (5a - 2)^2$;

е) $(3b - 1)^2 + (1 - 3b)^2$;

ж) $(2x + 1)^2 - (x + 7)(x - 3)$;

з) $(3y - 2)^2 - (y - 9)(9 - y)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(x - 5)^2 + 2x(x - 3)$

Для преобразования данного выражения в многочлен, раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат двучлен $(x - 5)$ по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а затем раскроем произведение $2x(x - 3)$, умножив $2x$ на каждый член в скобках.

1. $(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$.

2. $2x(x - 3) = 2x \cdot x - 2x \cdot 3 = 2x^2 - 6x$.

Теперь сложим полученные многочлены:

$(x^2 - 10x + 25) + (2x^2 - 6x)$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2) + (-10x - 6x) + 25 = 3x^2 - 16x + 25$.

Ответ: $3x^2 - 16x + 25$.

б) $(y + 8)^2 - 4y(y - 2)$

Раскроем скобки. Возведем в квадрат двучлен $(y + 8)$ по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и раскроем произведение $-4y(y - 2)$.

1. $(y + 8)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 8 + 8^2 = y^2 + 16y + 64$.

2. $-4y(y - 2) = -4y \cdot y - 4y \cdot (-2) = -4y^2 + 8y$.

Сложим полученные выражения:

$(y^2 + 16y + 64) + (-4y^2 + 8y)$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - 4y^2) + (16y + 8y) + 64 = -3y^2 + 24y + 64$.

Ответ: $-3y^2 + 24y + 64$.

в) $(a - 4)(a + 4) + (2a - 1)^2$

Используем формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ для первого произведения и формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ для второго слагаемого.

1. $(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$.

2. $(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$.

Сложим результаты:

$(a^2 - 16) + (4a^2 - 4a + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + 4a^2) - 4a + (-16 + 1) = 5a^2 - 4a - 15$.

Ответ: $5a^2 - 4a - 15$.

г) $(b - 3)(b + 3) - (b + 2)^2$

Применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ и формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

1. $(b - 3)(b + 3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9$.

2. $(b + 2)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = b^2 + 4b + 4$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(b^2 - 9) - (b^2 + 4b + 4) = b^2 - 9 - b^2 - 4b - 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - b^2) - 4b + (-9 - 4) = -4b - 13$.

Ответ: $-4b - 13$.

д) $(2a - 5)^2 - (5a - 2)^2$

Это выражение представляет собой разность квадратов, поэтому можно использовать формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Пусть $x = 2a - 5$ и $y = 5a - 2$.

$( (2a - 5) - (5a - 2) ) \cdot ( (2a - 5) + (5a - 2) ) = (2a - 5 - 5a + 2)(2a - 5 + 5a - 2)$

Упростим выражения в каждой скобке:

$(-3a - 3)(7a - 7)$

Теперь перемножим эти двучлены:

$-3a \cdot 7a - 3a \cdot (-7) - 3 \cdot 7a - 3 \cdot (-7) = -21a^2 + 21a - 21a + 21 = -21a^2 + 21$.

Альтернативный способ — раскрыть каждый квадрат по отдельности:

$(2a - 5)^2 = 4a^2 - 20a + 25$

$(5a - 2)^2 = 25a^2 - 20a + 4$

$(4a^2 - 20a + 25) - (25a^2 - 20a + 4) = 4a^2 - 20a + 25 - 25a^2 + 20a - 4 = -21a^2 + 21$.

Ответ: $-21a^2 + 21$.

е) $(3b - 1)^2 + (1 - 3b)^2$

Заметим, что $(1 - 3b) = -(3b - 1)$. Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного числа, $(-(3b - 1))^2 = (3b - 1)^2$.

Выражение можно переписать так:

$(3b - 1)^2 + (3b - 1)^2 = 2(3b - 1)^2$

Теперь раскроем квадрат разности:

$2((3b)^2 - 2 \cdot 3b \cdot 1 + 1^2) = 2(9b^2 - 6b + 1)$

Умножим на 2:

$18b^2 - 12b + 2$.

Ответ: $18b^2 - 12b + 2$.

ж) $(2x + 1)^2 - (x + 7)(x - 3)$

Раскроем квадрат суммы и произведение двучленов.

1. $(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.

2. $(x + 7)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 7 \cdot x + 7 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 7x - 21 = x^2 + 4x - 21$.

Вычтем второе выражение из первого:

$(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 + 4x - 21) = 4x^2 + 4x + 1 - x^2 - 4x + 21$.

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (1 + 21) = 3x^2 + 22$.

Ответ: $3x^2 + 22$.

з) $(3y - 2)^2 - (y - 9)(9 - y)$

Преобразуем вторую часть выражения. Заметим, что $(9 - y) = -(y - 9)$.

Тогда $(y - 9)(9 - y) = (y - 9)(-(y - 9)) = -(y - 9)^2$.

Исходное выражение принимает вид:

$(3y - 2)^2 - (-(y - 9)^2) = (3y - 2)^2 + (y - 9)^2$.

Теперь раскроем оба квадрата разности:

1. $(3y - 2)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 2 + 2^2 = 9y^2 - 12y + 4$.

2. $(y - 9)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = y^2 - 18y + 81$.

Сложим полученные многочлены:

$(9y^2 - 12y + 4) + (y^2 - 18y + 81)$

Приведем подобные слагаемые:

$(9y^2 + y^2) + (-12y - 18y) + (4 + 81) = 10y^2 - 30y + 85$.

Ответ: $10y^2 - 30y + 85$.