Номер 982, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 982, страница 195.

Условие.

982. Разложите на множители:

а) $(x - 5)^2 - 16;$

б) $(b + 7)^2 - 9;$

в) $25 - (3 - x)^2;$

г) $81 - (a + 7)^2;$

д) $(7x - 4)^2 - (2x + 1)^2;$

е) $(n - 2)^2 - (3n + 1)^2;$

ж) $9(a + 1)^2 - 1;$

з) $4 - 25(x - 3)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех примеров используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Представим выражение $(x - 5)^2 - 16$ в виде разности квадратов. Здесь $a = x - 5$, а $b^2 = 16$, следовательно, $b = 4$.
Применяем формулу:
$(x - 5)^2 - 4^2 = ((x - 5) - 4)((x - 5) + 4)$
Упрощаем выражения в скобках:
$(x - 5 - 4)(x - 5 + 4) = (x - 9)(x - 1)$
Ответ: $(x - 9)(x - 1)$.

б) В выражении $(b + 7)^2 - 9$ имеем $a = b + 7$, а $b^2 = 9$, значит $b = 3$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(b + 7)^2 - 3^2 = ((b + 7) - 3)((b + 7) + 3)$
Упрощаем:
$(b + 7 - 3)(b + 7 + 3) = (b + 4)(b + 10)$
Ответ: $(b + 4)(b + 10)$.

в) В выражении $25 - (3 - x)^2$ имеем $a^2 = 25$, значит $a = 5$, а $b = 3 - x$.
Применяем формулу разности квадратов:
$5^2 - (3 - x)^2 = (5 - (3 - x))(5 + (3 - x))$
Раскрываем внутренние скобки, обращая внимание на знаки:
$(5 - 3 + x)(5 + 3 - x) = (2 + x)(8 - x)$
Ответ: $(x + 2)(8 - x)$.

г) В выражении $81 - (a + 7)^2$ имеем $a^2 = 81$, значит $a = 9$, а $b = a + 7$.
Применяем формулу разности квадратов:
$9^2 - (a + 7)^2 = (9 - (a + 7))(9 + (a + 7))$
Раскрываем внутренние скобки:
$(9 - a - 7)(9 + a + 7) = (2 - a)(16 + a)$
Ответ: $(2 - a)(a + 16)$.

д) В выражении $(7x - 4)^2 - (2x + 1)^2$ имеем $a = 7x - 4$ и $b = 2x + 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((7x - 4) - (2x + 1))((7x - 4) + (2x + 1))$
Упрощаем выражения в каждой из скобок:
$(7x - 4 - 2x - 1)(7x - 4 + 2x + 1) = (5x - 5)(9x - 3)$
Выносим общие множители из каждой скобки:
$5(x - 1) \cdot 3(3x - 1) = 15(x - 1)(3x - 1)$
Ответ: $15(x - 1)(3x - 1)$.

е) В выражении $(n - 2)^2 - (3n + 1)^2$ имеем $a = n - 2$ и $b = 3n + 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((n - 2) - (3n + 1))((n - 2) + (3n + 1))$
Упрощаем выражения в каждой из скобок:
$(n - 2 - 3n - 1)(n - 2 + 3n + 1) = (-2n - 3)(4n - 1)$
Можно вынести знак минус из первой скобки:
$-(2n + 3)(4n - 1)$
Ответ: $-(2n + 3)(4n - 1)$.

ж) Представим выражение $9(a + 1)^2 - 1$ в виде разности квадратов.
$9(a + 1)^2 - 1 = (3(a + 1))^2 - 1^2 = (3a + 3)^2 - 1^2$
Теперь $a = 3a + 3$ и $b = 1$. Применяем формулу:
$((3a + 3) - 1)((3a + 3) + 1) = (3a + 2)(3a + 4)$
Ответ: $(3a + 2)(3a + 4)$.

з) Представим выражение $4 - 25(x - 3)^2$ в виде разности квадратов.
$4 - 25(x - 3)^2 = 2^2 - (5(x - 3))^2 = 2^2 - (5x - 15)^2$
Теперь $a = 2$ и $b = 5x - 15$. Применяем формулу:
$(2 - (5x - 15))(2 + (5x - 15))$
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(2 - 5x + 15)(2 + 5x - 15) = (17 - 5x)(5x - 13)$
Ответ: $(17 - 5x)(5x - 13)$.