Номер 988, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 988, страница 195.

Условие.

988. Докажите, что значение выражения:

а) $41^3 + 19^3$ делится на 60;

б) $79^3 - 29^3$ делится на 50;

в) $66^3 + 34^3$ делится на 400;

г) $54^3 - 24^3$ делится на 1080.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства используем формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим в формулу значения $a = 41$ и $b = 19$:
$41^3 + 19^3 = (41 + 19)(41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2)$
Вычислим сумму в первой скобке:
$41 + 19 = 60$
Таким образом, выражение можно записать в виде:
$41^3 + 19^3 = 60 \cdot (41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2)$
Поскольку один из множителей равен 60, а второй множитель является целым числом, то все выражение делится на 60.
Ответ: Значение выражения $41^3 + 19^3$ делится на 60.

б) Для доказательства используем формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим в формулу значения $a = 79$ и $b = 29$:
$79^3 - 29^3 = (79 - 29)(79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2)$
Вычислим разность в первой скобке:
$79 - 29 = 50$
Таким образом, выражение можно записать в виде:
$79^3 - 29^3 = 50 \cdot (79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2)$
Поскольку один из множителей равен 50, а второй множитель является целым числом, то все выражение делится на 50.
Ответ: Значение выражения $79^3 - 29^3$ делится на 50.

в) Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим в формулу значения $a = 66$ и $b = 34$:
$66^3 + 34^3 = (66 + 34)(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$
Вычислим сумму в первой скобке:
$66 + 34 = 100$
Получаем: $100 \cdot (66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$.
Чтобы доказать, что выражение делится на 400, необходимо показать, что второй множитель $(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$ делится на 4, так как $400 = 100 \cdot 4$.
Проверим делимость второго множителя на 4. Числа 66 и 34 являются четными, поэтому их квадраты и их произведение делятся на 4.
$66^2 = (2 \cdot 33)^2 = 4 \cdot 33^2$ (делится на 4).
$34^2 = (2 \cdot 17)^2 = 4 \cdot 17^2$ (делится на 4).
$66 \cdot 34 = (2 \cdot 33) \cdot (2 \cdot 17) = 4 \cdot 33 \cdot 17$ (делится на 4).
Так как уменьшаемое и вычитаемое во втором множителе делятся на 4, то и вся скобка $(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$ делится на 4.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде $100 \cdot (4k) = 400k$, где $k$ — целое число. Это доказывает, что оно делится на 400.
Ответ: Значение выражения $66^3 + 34^3$ делится на 400.

г) Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим в формулу значения $a = 54$ и $b = 24$:
$54^3 - 24^3 = (54 - 24)(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$
Вычислим разность в первой скобке:
$54 - 24 = 30$
Получаем: $30 \cdot (54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$.
Чтобы доказать, что выражение делится на 1080, необходимо показать, что второй множитель $(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$ делится на 36, так как $1080 = 30 \cdot 36$.
Рассмотрим второй множитель. $54$ делится на 18, а $24$ делится на 6. Покажем, что каждый член в скобках делится на 36.
$54^2 = 2916$. $2916 \div 36 = 81$. Значит, $54^2$ делится на 36.
$24^2 = 576$. $576 \div 36 = 16$. Значит, $24^2$ делится на 36.
$54 \cdot 24 = 1296$. $1296 \div 36 = 36$. Значит, $54 \cdot 24$ делится на 36.
Альтернативный способ: представим $54 = 6 \cdot 9$ и $24 = 6 \cdot 4$.
$54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2 = (6 \cdot 9)^2 + (6 \cdot 9)(6 \cdot 4) + (6 \cdot 4)^2 = 36 \cdot 81 + 36 \cdot 36 + 36 \cdot 16 = 36 \cdot (81 + 36 + 16)$.
Так как каждый член в скобках делится на 36, то и вся сумма делится на 36.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде $30 \cdot (36k) = 1080k$, где $k$ — целое число. Это доказывает, что оно делится на 1080.
Ответ: Значение выражения $54^3 - 24^3$ делится на 1080.